Question

高数证明极限存在!!! 步骤一定要写清楚啊！ 最好拍下来啊

Answer 1

证明：数列a1=√2，a(n+1)=√(2+an)，n∈N+
首先，an=√(2+√(2+……√2)……) (n个根号)
a(n+1)=√(2+√(2+……√(2+√2)……)) (n+1个根号)
>√(2+√(2+……√(2+0)……))=an
也即数列{an}严格单调递增。
其次，an=√(2+√(2+……√(2+√2)……)) (n个根号)
<√(2+√(2+……√(2+2)……)) =……=√(2+2)=2
也即数列{an}有上界，不超过2。
所以数列{an}必有极限。设极限为x，根据定义有
lim a(n+1)=lim an=√(2+lim an)
n->+∞ n->+∞ n->+∞
也即 x=√(2+x)
解得x=2（x=-1<0舍去）
所以数列极限存在，且极限为2。
不明白请追问。