Question

初中解三元一次方程组除了消元法，还有其他的吗？

Answer 1

如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。

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解法

　　他们主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异

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概念

　　含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组。

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应用

　　三元一次方程一般将会在高中数学的函数中学到,

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知识要点

　　1.三元一次方程组的概念: 　　

　　含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组. 　　

　　例如: 　　都叫做三元一次方程组. 　　注意:每个方程不一定都含有三个未知数,但方程组整体上要含有三个未知数. 　　熟练掌握简单的三元一次方程组的解法 　　会叙述简单的三元一次方程组的解法思路及步骤. 　　思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法. 　　步骤:①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组; 　　②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值; 　　③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把 　　这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 　　灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组.三元一次方程组的解法举例 　　例如:解下列三元一次方程组 　　分析:此方程组可用代入法先消去y,把①代入②,得, 　　5x+3(2x-7)+2z=2 　　5x+6x-21+2z=2 　　解二元一次方程组,得: 　　把x=2代入①得,y=-3 ∴ 　　

　　例2. 　　分析:解三元一次方程组同解二元一次方程组类似,消元时,选择系数较简单的未知数较好.上述三元一次方程组中从三个方程的未知数的系数特点来考虑,先消z比较简单. 　　解:①+②得,5x+y=26④ 　　①+③得,3x+5y=42⑤ 　　④与⑤组成方程组: 　　解这个方程组,得 　　把代入便于计算的方程③,得z=8 　　∴ 　　注意:为把三元一次方程组转化为二元一次方程组,原方程组中的每个方程至少要用一次. 　　能够选择简便,特殊的解法解特殊的三元一次方程组. 　　例如:解下列三元一次方程组 　　分析:此方程组中x,y,z出现的次数相同,系数也相同.根据这个特点,将三个方程 　　的两边分别相加解决较简便. 　　解:①+②+③得:2(x+y+z)=30 　　x+y+z=15④ 　　再④-①得:z=5 　　④-②得:y=9 　　④-③得:x=1 　　∴ 　　分析:根据方程组特点,方程①和②给出了比例关系,可先设x=3k,y=2k,由②得:z=y,∴z=×2k=k,再把x=3k,y=2k,z=k代入③,可求出k值,进而求出x,y,z的值. 　　解:由①设x=3k,y=2k 　　由②设z=y=×2k=k 　　把x=3k,y=2k,z=k分别代入③,得 　　3k+2k+k=66,得k=10 　　∴x=3k=30 　　y=2k=20 　　z=k=16
3.三元一次方程组的解法
　　（1）解三元一次方程组的基本思想
　　解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.
　　（2）怎样解三元一次方程组？

解三元一次方程组例题
　　1.解方程组
　　法一：代入法
　　分析：仿照前面学过的代入法，将（2）变形后代入（1）、（3）中消元，再求解．
　　解：由（2），得 x=y+1． （4）
　　　　将（4）分别代入（1）、（3）得
　　　　解这个方程组，得
　　　　把y=9代入（4），得x=10．
　　　　因此，方程组的解是
　　法二：加减法
　　解：（3）-（1），得 x-2y=-8 （4）
　　　　由（2），（4）组成方程组
　　　　解这个方程组，得
　　　　把x=10，y=9代入（1）中，得 z=7．
　　　　因此，方程组的解是
　　法三：技巧法
　　分析：发现（1）＋（2）所得的方程中x与z的系数与方程（3）中x与z的系数分别对应相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组
　　解：由（1）＋（2）-（3），得 y=9．
　　　　把y=9代入（2），得 x=10．
　　　　把x=10，y=9代入（1），得 z=7．
　　　　因此，方程组的解是
　　注意：
　　（1）解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出.
　　（2）从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确
　 　　　求解方程组．

　　2.解方程组
　　分析：在这个方程组中，方程（1）只含有两个未知数x、z，所以只要由（2）（3）消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程组．
　　解：（2）×3＋（3），得11x＋7z=29， （4）
　　　　把方程（1），（4）组成方程组
　　　　解这个方程组，得，
　　　　把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y=
　　　　因此，方程组的解是

　　3.解方程组
　　分析：用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数.
　　解：（1）＋（3），得 5x+5y=25．（4）
　　　　（2）＋（3）×2，得 5x+7y=31．（5）
　　　　由（4）与（5）组成方程组
　　　　解这个方程组，得
　　　　把x=2，y=3代入（1），得3×2+2×3＋z=13，
　　　　所以 z=1．
　　　　因此，方程组的解是

　　4.解方程组
　　分析：题目中的y:x=3:2,即y=
　　法一：代入法
　　解：由（2）得x=y (4)
　　　　由（3）得z= (5)
　　　　将（4），（5）代入（1），得+y+y=111
　　　　所以 y=45．
　　　　把y=45分别代入（4）、（5），得x=30，z=36．
　　　　因此，方程组的解是
　　法二：技巧法
　　分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12．因此，可设x=10k，y=15k，z=12k．将它们一起代入（1）中求出k值，从而求出x、y、z的值．
　　解：由（2），得x∶y=2∶3，
　　　　即x∶y=10∶15．
　　　　由（3），得y∶z=5∶4，
　　　　即y∶z=15∶12．
　　　　所以 x∶y∶z=10∶15∶12．
　　　　设x=10k，y=15k，z=12k，代入（1）中得10k+15k+12k=111，
　　　　所以 k=3．
　　　　故x=30，y=45，z=36．
　　　　因此，方程组的解是

　　5.解方程组
　　分析：
　　1) 观察原方程组，我们准备先消去哪一个未知数？
　　2) 为什么要先消去z?注意到三个方程中都含有三个未知数，而在方程(3)中z一项的系数是-1，所以未
　 　　知数z易消.
　　3) 怎样在(1)和(2)中消去z?
　　4) 解这个关于x、y的方程组，求x和y的值是多少？
　　5) 怎样去求z的值？能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z？
　　解：(1)+(3)×4 得17x+5y=85 … (4)
　　　　(3)×3-(2) 得7x-y=35 … (5)
　　　　(4)、(5)组成方程组
　　　　解得
　　　　把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18,
　　　　所以z=-3, 所以
　　总结：解三元一次方程组的一般步骤：
　　1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程
　　　组；
　　2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；
　　3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
　　4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
　　5.将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起，即可.

练习：
　　1．解方程组

　　2．解方程组

　　3．已知方程组 的解使代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值.

练习答案
　　1．
　　分析：根据各方程中系数的特点，将方程(1)分别与方程(2)、方程(3)组成两组，利用加减法消去y比较简便.
　　解：(1)+(2), 有 5x-z=14 (4)
　　　　(1)+(3), 有 4x+3z=15 (5)
　　　　再解由(4)、(5)构成的二元一次方程组
　　　　(4)×3, 得15x-3z=42 (6)
　　　　(5)+（6），得19x=57, x=3.
　　　　把x=3代入(4)，得z=1.
　　　　∴
　　　　把x=3, z=1代入(3)，得y=8.
　　　　因此，方程组的解是
　　注意：解三元一次方程组，要先根据各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元.

　　2．
　　法－：代入法
　　解：由(1)，得3y=2x, (4)
　　　　由(2)得 5z=y， (5)
　　　　把(4)和(5)代入(3)，得，
　　　　解得y=10.
　　　　把y=10分别代入(4)和(5)，得
　　　　
　　　　因此，方程组的解是
　　法二：技巧法
　　解：由(1)，得x∶y=15∶10(根据分数的基本性质)，
　　　　由(2)，得y∶z=10∶2.
　　　　∴ x∶y∶z=15∶10∶2.
　　　　设x=15k, y=10k, z=2k 并代入(3)，
　　　　得15k+10k-2×2k=21,解得 k=1.
　　　　∴ x=15, y=10, z=2.
　　　　∴
　　小结：此方程组是三元一次方程组，这类方程组一般有两种基本解法，一是将比例式化为等积式，把(1)变为，(2)变为，然后代入(3)，可消去两个未知数x和z，得到关于y的一元一次方程；二是把方程(1)和(2)的两个比统一为x∶y∶z=15∶10∶2然后设每一份为k,即x=15k, y=10k, z=2k，代入方程(3)可求出k，进而求得x, y, z的值.

　　3．
　　分析：由题意可知，此方程组中的a是已知数，x、y、z是未知数，先解方程组，求出x、y、z（含有a的代数式），然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z=-10，可得关于a的一元一次方程.解这个方程，即可求得a的值.
　　法－：
　　解：(2)-(1)，得z-x=2a (4)
　　　　(3)+(4)，得2z=6a, z=3a.
　　　　把z=3a分别代入(2)和(3)，得y=2a, x=a.
　　　　∴
　　　　把x=a, y=2a, z=3a代入x-2y+3z=-10，
　　　　得a-2×2a+3×3a=-10, 解得.
　　法二：技巧解法
　　解：(1)+(2)+(3)，得2(x+y+z)=12a,
　　　　即x+y+z=6a (4)
　　　　(4)-(1),得z=3a;
　　　　(4)-(2),得x=a;
　　　　(4)-(3),得y=2a.
　　　　∴以下同解法－，略.
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Answer 2

换元法

Answer 3

带入法

Answer 4

整体代入和加减