Question

用换元法的凑微分法求积分∫1/根号下(2-3x^2)dx

Answer 1

∫1/√(2-3x^2) dx
解：令x =√(2/3) sinu
dx = √(2/3) cosu du
√(2-3x^2) = √[2-2(sinu)^2] = √2 cosu
∫1/√(2-3x^2) dx
=∫√(2/3) cosudu/(√2 cosu)
=(1/√3)∫du
= (1/√3) u+ C
=(1/√3) arcsin(√3x/√2) + C

追问

不好意思 我是刚学的 为什么要令x=√(2/3) sinu

追答

做题的题感吧，看到根号下1减去一个平方项这种形式，可以联想到(sinx)^2+(cosx)^2=1的三角代换。就本题而言，要把√(2-3x^2)转成√(1-t^2)这种形式，然后将t换成sin或者cos的三角函数，就可将根号消掉了，√(2-3x^2)=√2*√(1-3/2x^2)
所以我们令3/2x^2=t^2=(sinu)^2
所以sinu=√(3/2) x
即x=√(2/3) sinu