Question

已知数列{An}满足a1=1，a2=5，an+1=5an-4an-1，（n≥2），求an

Answer 1

解
【1】
由题设可得：
a1=1, a2=5, a3=21, a4=85
【2】
构造数列：
bn=[a(n+1)]-(an). n=1,2,3,,,,,,,
易知，b1=4, b2=16, b3=64.
且由题设可得：bn=4b(n-1), n≥2
∴通项：bn=4^n. n=1,2,3....
【3】
由上面结果可知：
[a(n+1)]-(an)=4^n. n=1,2,3,,,,
具体点，就是：
(a2)-(a1)=4¹
(a3)-(a2)=4²
(a4)-(a3)=4³
.................................
(an)-[a(n-1)]=4^(n-1)
上面式子累加，可得：
(an)-(a1)=4{[4^(n-1)]-1}/3
∴an=[(4^n)-1]/3.
经检验，通项为：
an=[(4^n)-1]/3, n=1,2,3,,,,

Answer 2

(an+1 - an) = 4(an-an-1)
可得an-an-1 = 4^n-2;
联立可得an-a1 = 4+4^2+.......+4^n-2
可求得An（n>2）