Question

证明：设D是矩阵A的R阶非零子式并含D的一切R+1阶子式均为零，则矩阵的R+

证明：设D是矩阵A的R阶非零子式并含D的一切R+1阶子式均为零，则矩阵的R+1阶子式均为零。

Answer 1

D所在的列线性无关(定理已知低维向量无关，延伸成高维亦无关),但A的D以外的所有列均可由D所在的列线性表示(题设含D的r+1阶子式都为0),故A的列向量组的秩等于D的列数即r.而矩阵的秩=列秩=行秩，
所以A的秩为r,那么A的所有k（k>r)阶子式全为零,r+2阶自然也为0.

Answer 2

这个证明写起来比较麻烦
线性代数教材中一般有这样的结论:
A的秩是r 的充分必要条件是: A有r阶非零子式, 且A的所有r+1阶非零子式均为零.

事实上, 其中的证明只是用到了含非零r阶子式的r+1阶子式均为零.
这样的话, 得到A的秩为r.
进而有 r+1 阶子式均为零.