Question

用函数的有界性怎么解题？

Answer 1

可以利用三角函数的有界性，在不限制定义域的情况下三角函数的值域[-1,1]

有时候一道不是三角函数的题也可以通过三角代换将其变成三角函数的题型来做。

再就是注意限制定义域的情况，一定要把值域找准千万别出界了。

比如

这个函数求值域，就可以利用三角代换。

(0<x<1）这样人为的限制了定义域答案就又不一样了。

Answer 2

函数的有界性定义:

如果对于变量x所考虑的范围(用D表示)内,存在一个正数M,使在D上的函数值f(x)都满足

│f(x)│≤M

则称函数y=f(x)在D上有界,亦称f(x)在D上是有界函数.如果不存在这样的正数M,则称函数y=f(x)在D上无界,亦称f(x)在D上是无界函数.

举例:

一般来说,连续函数在闭区间具有有界性。 例如:
y=x+6在[1,2]上有最小值7,最大值8,所以说它的函数值在7和8之间变化,是有界的,所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2,π/2)内则无界。