Question

三角函数的反函数

求函数f(x)=2sin(x/2)在x∈［－2派，派］上的反函数。 怎么求三角函数的反函数，总是弄有懂，需要注意什么
反函数的定义域呢？

Answer 1

1、先写出反函数的形式，f(x)=2arcsin(x/2)。
2、注意定义域和值域，f(x)=arcsin(x)的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
为了与题目对应，其值域应改为[-2π,π]。

即其反函数为f(x)=2arcsin(x/2)，值域[-2π,π]。

补充：反函数的定义域就是 [-1,1]。
因为一个x对应有n个y，为了不引起歧义，所以f(x)=arcsin(x)的默认值域是[-π/2,π/2]。具体到本题，只需注明值域、说明不是在默认区间即可。

Answer 2

你是求-2派到-π上的反函数吧？
y=2sin(x/2)=-2sin（x/2+π）此时x/2+π=arcsin（-y/2)
这时候吧x和y倒一下，得到y/2+π=arcsin（-x/2)
得到y=-2arcsin（x/2）-2π
这就是反函数

不可能球的是-2π到π的，这个区间内函数都不是单调的，怎么会有反函数？
如果是-2π到-π的话那就是上面的做法，反函数值域就是-2π到-π
定义域域是-2到0

Answer 3

根据隐函数存在定理f(x)=sin(x)+x的局部反函数是存在的，但只可以在[k∏-1/2∏,k∏+1/2∏](k是整数)区间内存在反函数。这里只给出反函数的存在性的结论，但是不能用初等函数表示其反函数，因为sin(x)+x不是一个三角函数，而是一个超越函数。
关于隐函数存在定理可以参考华南理工大学出版社的《数学分析(下册)》第13章
多元函数的偏导数和微分
第4节
隐函数存在性定理