Question

在三角形ABC中，DE平行于BC分别交AB,AC于点D,E两点，过点E作E,F平行于AB交B,C于

在三角形ABC中，DE平行于BC分别交AB,AC于点D,E两点，过点E作E,F平行于AB交B,C于点F.问，（1）若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h,请证明s的平方=4✘ s1✘ s2。（2）， 平行四边形DEFG的四个顶点在三角形ABC的三边上，若三角形ADG,三角形DBC,三角形GFC的面积分别为2，5，3， 试利用（1） 中的结论求三角形ABC的面积

Answer 1

（1）平行四边形DBFE的面积S=(1/2)*2*3=3
△EFC的面积S1=(1/2)*6*3=9
因为EF//AB
所以，△CEF∽△CAB
则，S1/(S1+S2+S)=[6/(6+2)]^2【相似三角形面积之比等于相似比的平方】
===> S1/(S1+S2+S)=9/16
===> 9/(9+S2+3)=9/16
===> S2=4

（2）S1=(1/2)bh
S=ah
且由(1)可得：S1/(S1+S2+S)=[b/(a+b)]^2
===> S1/(S1+S2+S)=b^2/(a+b)^2
===> (1/2)bh*(a+b)^2=b^2*[(1/2)bh+S2+ah]
===> h(a+b)^2=2b[(1/2)bh+S2+ah]
===> h(a+b)^2=b^2*h+2bS2+2abh
===> ha^2+2abh+hb^2=b^2*h+2bS2+2abh
===> S2=ha^2/2b
那么：
4S1S2=4*(1/2)bh*(ha^2/2b)=(ha)^2
所以：S^2=4S1S2

（3）过点G作AB的平行线，交BC于点H
因为四边形DEFG为平行四边形
所以，DG=EF，且DG//BF
又，GH//BD
所以，四边形DBHG也是平行四边形
所以，BH=DG
则，BH=EF
即，BE+EH=EH+HF
所以，BE=HF…………………………………………（1）
又BD//HG
所以，∠DBE=∠GHF…………………………………（2）
且在平行四边形DBHG中，BD=HG……………………（3）
那么，由(1)(2)(3)得到：△DBE≌△GHF（SAS）
已知S△DBE=5，则S△GHF=5
所以，S△GHC=5+3=8
且，S平行四边形DBHG=S△BDE+S四边形DEHG=S△GHF+S四边形DEHG=S平行四边形DEFG

则，类似(1)(2)中：
S1=S△GHC=8
S2=S△ADG=2
S=S平行四边形DBHG=S平行四边形DEFG
所以：S^2=4S1S2=4*8*2=64
所以，S=8
那么，S△ABC=S+S1+S2=8+8+2=18

追问

平行四边形DEBF面积不应该是2✘3=6 吗

追答

(⊙o⊙)之前有点小问题，我重新发一遍

追问

这个一看就很明了。谢谢了！

后面一小题，求三角形ABC的面积？

追答

对啊，你题目不是写着求面积吗？第三问就是

追问

谢谢了！

追答

不客气，记得采纳哦，谢谢