Question

已知a∈R，函数fx=（-x^2+ax）e^x

若函数fx在（-1,1）上单调递减，求a的取值范围

Answer 1

f'(x）=e^x(-x^2+ax)+e^x(-2x+a)=e^x(-x^2+ax-2x+a)

令f'(x)=0，得-x^2+ax-2x+a=0，

化简，x^2-ax+2x-a=0........1

1）、当a=2时，1式就是x^2-2=0,得x=√2或x=-√2

一、x∈（-∞，-√2〕时，f'(x)<0,

所以f（x）在（-∞，-√2〕时是单调递减的

二、x∈〔-√2，√2〕时，f'(x)>0,

所以f（x）在〔-√2，√2〕时是单调递增的

三、x∈〔√2，+∞）时，f'(x)<0,

所以f（x）在〔√2，+∞）时是单调递减的

2）、f(x)在(-1,1)上单调递增，则f'(x)=0的两根在x=-1，x=1之外

就是x^2-ax+2x-a=0,

x1=〔（a-2）-√（a^2+4)]/2≤-1,化简，恒成立

x2=〔（a-2）+√（a^2+4)]/2≥1，化简，a≥3/2

所以a的取值范围是a≥3/2