Question

已知抛物线y^2=2px(p>0)上任一点到焦点的距离比到y轴的距离大1 1、求抛物线方程 2

、设A、B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M（4,0），求|AB|的最大值

Answer 1

答：
抛物线y^2=2px的焦点F(p/2,0)，准线方程x=-p/2
抛物线上的点到焦点F的距离等于其到准线的距离。
（1）抛物线上的点到交点的距离比到y轴即直线x=0的距离大1，
说明直线x=0和准线x=-p/2之间的距离为1，所以：
0-(-p/2)=p/2=1，p=2
所以：抛物线方程为y^2=4x

（2）设点A为（a^2，2a），点B为（b^2，2b），AB不垂直于x轴，所以：a^2≠b^2.
AB的中点D为（a^2/2+b^2/2，a+b），AB的斜率为kAB=(2a-2b)/(a^2-b^2)=2/(a+b)。
因为点M(4,0)在AB的垂直平分线上，所以MD即为AB的垂直平分线，两直线的斜率乘积为-1：
kMD=(a+b-0)/(a^2/2+b^2/2-4)=2(a+b)/(a^2+b^2-8)
因为：kAB*kMD=-1
所以：[2/(a+b)]*[2(a+b)/(a^2+b^2-8)]=4/(a^2+b^2-8)=-1
所以：a^2+b^2=4

|AB|=√[(a^2-b^2)^2+(2a-2b)^2]
=√[(a^2+b^2)^2-4a^2*b^2+4(a^2+b^2)-8ab]
=√(16-4a^2*b^2+16-8ab)
=2√[-(ab+1)^2+9]
当ab+1=0即时，|AB|最大值为2√(0+9)=6

所以：|AB|的最大值为6.