Question

二次函数与一次函数、反比例函数的综合题

已知一次函数y=2x的图像与反比例函数y=k/x的图象交于m、n两点，且mn=2
倍根号5
（1）求反比例函数解析式
（2）若抛物线y=ax2（x平方）+bx+c经过m，n两点，证明此抛物线与x轴必有两个交点。
（3)若(2)中的抛物线与x轴的两个交点分别为a，b（点a在点b左侧），与y轴交于c点，连接ac，bc，若tan∠cab+tan∠cba=3，求次抛物线解析式
(我主要是第三问不会，请解答详细一点，之前在知道里看见有人回答了这题，但是看不懂。还有如果有人知道这题出自哪里的，也希望有人告知一下！)

Answer 1

(1)MN=2√5,则OM=MN/2=√5;设点M的横坐标为m,则纵坐标为2m.

OH²+MH²=OM²,即m²+4m²=5, m=1(即正值),即点M为(1,2).

反比例函数y=k/x过点M(1,2),则2=k/1,k=2.

∴反比例函数解析式为y=2/x.

(2)点M(1,2)关于点O对称的点N为(-1,-2),抛物线y=ax²+bx+c过点M和点N,则:

2=a+b+c;

-2=a-b+c.

得:b=2, c= -a.

则此二次函数为y=ax²+2x-a.

b²-4ac=4-4a*(-a)=4+4a²>0,故抛物线与X轴必有两个交点.

(3)当抛物线开口向上(a>0)时(如图中的红色抛物线),设点A为(X1,0),点B为(X2,0),则:OA=-X1,OB=X2,OC=│-a│=a,X1+X2=-2/a,X1*X2=-1.

tan∠CAB+tan∠CBA=OC/OA+OC/OB=3,即a/(-X1)+a/X2=3, a(X2-X1)=-3X1*X2=6.

a√[(X1+X2)²-4X1*X2]=6,a√(4/a²+4)=6, a=±2√2,a=2√2(取正值).

即抛物线解析式为:y=2√2X²+2X-2√2;

当抛物线开口向下时(如图中绿色抛物线),同理可求得其解析式为y=-2√2X²+2X+2√2.

【注: 实际上,(3)开始所求得的a=±2√2就是两种情况下的a值.】 

Answer 2

1、m(x1,2x1) n(-x1,-2x1)
mn=根号[(2x1)^2+(4x1)^2]=2根号5
x1=+-1
过点（1,2）和（-1，-2）
2=k/1
k=2
y=2/x
2、y=ax^2+bx+c经过m，n两点
2=a+b+c
-2=a-b+c
可得：a+c=0,a*c<0,b=2
y=ax^2+bx+c=0
吊塔=b^2-4ac>0
所以抛物线与x轴必有两个交点
3、a+c=0,c=-a
y=ax^2+2x-a,A、B的坐标为（（-1+根号1+a^2）/a，0）（（-1-根号1+a^2）/a,0）
C(0,-a)
tan∠cab+tan∠cba=CO/A0+C0/B0=|-a/[（-1+根号1+a^2）/a]|+|-a/[（-1+根号1+a^2）/a]|=3
即2根号（1+a^2）=3
a=根号5/2，或a=-根号5/2

Answer 3

解：
（1）
联立：y=2x
y=k/x
得：
2x=k/x (x≠0)
2x^2=k
x1,2 =±√(k/2)
y1,2 =±2√(k/2)
|MN|=√(2k+8k)=√(10k)=2√5
∴k=2
∴y=2/x
(2)
令f(x)=y=ax^2+bx+c；
根据（1）得：M坐标（-1，-2）N坐标（1,2）
抛物线y=ax^2+bx+c经过m，n两点，所以：

f(-1)=-2=a-b+c
f(1)=2=a+b+c
两式相加：0=2(a+c)
∴a=-c，则：
f(-1)=-b=-2
b=2
∴f(x)=ax^2+2x-a
△=4+4a^2>0
所以ax^2+2x-a=0有两个不相等的实根，即函数y=f(x)与x轴必有两个交点
（3）
设A（xa,0）,B(xb,0)，C(0,yc)则：
tan∠CAB = ±yc/xa
tan∠CBA = ±yc/xb
得：
±yc/xa+(±yc/xb)=3
由（2）知：
f(x)=ax^2+2x-a
当 ax^2+2x-a=0时的根就是与x轴的交点，则：

xa,b=[-1±√(1+a^2)] / a
当x=0时，就是C点坐标：
yc=-a
∴
当形式为yc/xa+yc/xb时：
yc/xa+yc/xb
=(-a)/{[-1-√(1+a^2)] / a} + (-a)/{[-1+√(1+a^2)] / a}
=3
a^2[-1+√(1+a^2)] / (-a^2) + a^2[-1-√(1+a^2)] / (-a^2) = 3
无解
当形式为yc/xa-yc/xb时：
yc/xa-yc/xb
=(-a)/{[-1-√(1+a^2)] / a} - (-a)/{[-1+√(1+a^2)] / a}
=3
2√(1+a^2)=3
解得：
a=±√5/2
当形式为-yc/xa+yc/xb时：

-yc/xa+yc/xb

=a/{[-1-√(1+a^2)] / a} + (-a)/{[-1+√(1+a^2)] / a}
=3
无解
当形式为-yc/xa-yc/xb时：
-yc/xa-yc/xb
=a/{[-1-√(1+a^2)] / a} - (-a)/{[-1+√(1+a^2)] / a}
=3
无解
综上：a=±√5/2，则：
y=(√5/2)x^2+2x-√5/2或者
y=-(√5/2)x^2+2x+√5/2