Question

数学一道填空题求详解。

若双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0.b>0)的左，右焦点分别为F1，F2,离心率为e,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点，若三角形F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则e^2=______________

Answer 1

由题，△F1AB为等腰直角三角形，A为直角顶点
则，设AF1＝AB＝m
BF1＝√2m

由双曲线的性质可得
AF2＝AF1－2a＝m－2a
BF2＝BF1－2a＝√2m－2a
则，AB＝AF2＋BF2＝(1＋√2)m－4a
又，AB＝m
所以，(1＋√2)m－4a＝m
即，4a＝√2m
所以，16a²＝2m²

△F1AF2为Rt△
F1F2＝2c
F1A＝m
F2A＝m－2a＝(1－√2/2)m
由勾股定理，F1F2²＝F1A²＋F2A²
则，(2c)²＝m²＋(3/2－√2)m²
即，4c²＝(5/2－√2)m²
所以，16c²＝(10－4√2)m²

e²＝c²/a²
＝(16c²)/(16a²)
＝(10－4√2)/2
＝5－2√2