Question

已知向量OA=向量a，向量OB=向量b，点G是三角形OAB的重心，过点G的直线PQ与OA,OB分别交于P,Q两点。

问：（1）用向量a,向量b表示向量OG
（2）若向量OP=m向量a，向量OQ=n向量b，试问1/m+1n是否为定值，证明你的结论。

Answer 1

(1)设C为线段AB的中点，
向量OG=(2/3)向量OC=(2/3)(1/2向量OA+1/2向量OB)=1/3向量a+1/3向量b
(2)因为P、Q、G三点共线，所以向量OG=s向量OP+t向量OQ，且s+t=1，
又向量OP=m向量a，向量OQ=n向量b，
所以向量OG=sm向量a+tn向量b，
由(1)知sm=1/3，tn=1/3，即1/m=3s，1/n=3t，
所以1/m+1/n=3(s+t)=3。

Answer 2

解：(1)设AB边中线为OC
所以向量OC=1/2（向量OA+向量OB）=1/2a+1/2b （以下省略向量二字）
又∵G是重心
∴OG=2/3OC=1/3a+1/3b
(2)∵OP+OQ=2OG=2/3a+2/3b
∴ma+nb=2/3a+2/3b
根据平面向量基本定理
m、n是确定的
故1/m+1/n为定值

追问

1/m+1/n为多少 怎么算？

追答

ma+nb=2/3a+2/3b
根据平面向量基本定理，a,b前面的系数是固定的才能满足条件
m=2/3,n=2/3
故1/m+1/n=3

Answer 3

等于三分之一，当结论记住吧