Question

已知数列{an}的前n项的和为Sn，且1/S1+1/S2+ +1/Sn=n/(n+1) （1）求S1，S2及Sn。

（2）设bn=(1/2)^an，数列{bn}的前n项和为Tn，若对一切n∈N*均有Tn∈（1/m , m^2-6m+16/3 )，求实数m的取值范围。

拜托了

Answer 1

1）令n=1，得1/S1=1/(1+1)=1/2，所以S1=2；
令n=2，得1/S1+1/S2=2/(2+1)，且S1=2，得S2=6
因为，1/S1+1/S2+……+1/Sn=n/(n+1)
所以，1/S1+1/S2+……+1/S(n-1)=(n-1)/(n-1+1)=(n-1)/n
两式相减，得1/Sn=n/(n+1)-(n-1)/n=1/(n*(n+1))
所以，Sn=n*(n+1)
因为，S(n-1)=(n-1)*(n-1+1)=(n-1)*n，
所以，an=Sn-S(n-1)=n*(n+1)-(n-1)*n=2n
2）bn=(1/2)^an=(1/2)^(2n)=(1/4)^n为等比数列，公比q为1/4小于1，且b1=1/4，
所以，Tn最小在n=1时取得，为1/4，最大在n为无穷大时取得，为b1/(1-q)=1/3
要使条件成立，则应满足，1/m<1/4，所以m>4。
另外，m^2-6m+16/3>1/3,所以m^2-6m+5>0,解得，m>5，综上，m应该大于5.

仅供参考。