Question

分别求m的取值范围，若方程x²-mx-m+3=0的两根（1）一根在0与1之间，另一根在1与2之间

分别求m的取值范围，若方程x²-mx-m+3=0的两根（1）一根在0与1之间，另一根在1与2之间（2）两根都在-4与0之间

Answer 1

令 f(x)=x^2-mx-m+3 ，则f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴 x=m/2 。
1）因为 f(x)=0 的两个根一个介于0、1，一个介于1、2，
因此 f(0)=-m+3>0 ，f(1)=1-m-m+3<0 ，f(2)=4-2m-m+3>0 ，
分别解上述三个不等式，得 m<3 ，m>2 ，m<7/3 ，
取交集，得 m 的取值范围是 （2，7/3）。

2）若方程 f(x)=0 的两个根都在 -4 、0 之间，
则由抛物线的性质得
f(-4)=16+4m-m+3>0 ， （1）
f(0)=-m+3>0 ， （2）
对称轴介于 -4、0 之间：-4<m/2<0 ， （3）
判别式非负：m^2-4(-m+3)>0 ， （4）
解以上四个不等式，得 （1）m>-19/3 ；（2）m<3 ；（3）-8<m<0 ；（4）m<-6 或 m>2
取交集，得 m 的取值范围是（-19/3 ，-6）。

Answer 2

解1：
设方程的两根分别为x1、x2
不妨令：x1∈(0，1)、x2∈(1，2)
显然：x1+x2∈(1，3)、(x1)(x2)∈(0，2)
由韦达定理：
x1+x2=m……………………(1)
(x1)(x2)=3-m………………(2)
由(1)得：1＜m＜3…………(3)
由(2)得：0＜3-m＜2………(4)
由(4)得：3＞m＞1
即：m∈(1，3)

解2：
设方程的两根分别为x1、x2
不妨令：x1、x2∈(-4，0)
显然：x1+x2∈(-8，0)、(x1)(x2)∈(0，16)
由韦达定理：
x1+x2=m……………………(1)
(x1)(x2)=3-m………………(2)
由(1)得：-8＜m＜0…………(3)
由(2)得：0＜3-m＜16………(4)
由(4)得：3＞m＞-13
综合以上，有：m∈(-8，0)

Answer 3

方程式有解，说明△大于等于0，<1>中两根不等，所以△大于零，得出（m+6）*(m-2)>0又X1+X2=m；X1*X2=-m+3；带进去就可以得出范围，<2>中两根是有可能相等的，所以△大于等于零，后面的和<1>思路一样。