Question

高一数学 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10，

高一数学
设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10，图像过点(0，3)，求f(x)的解析式

Answer 1

设f（x）=ax^2+bx+c,a≠0。f(x)=0的两实数根分别为x1和x2

又图像过点（0，3），所以c=3，所以f（x）=ax^2+bx+3
因为f(2+x)=f(2-x)，所以该函数图象的对称轴为x=2。即-b／2a=2
由根与系数的关系得x1+x2=-b／a，x1x2=3／a。
而x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(b／a)^2-6／a=10。
解得a=1，b=-4

所以f（x）=x^2-4x+3

追问

为什么f(x+2)=f(2-x)可以得出对称轴x=2呢

追答

这样单纯看f(x+2)=f(2-x)可能看不出来，但是换成f(2-x)=f(2+x)这样就好看好多了，这么特别的数只有对称轴才能满足，这个也是二次函数的一个性质