Question

在数列{an}中,a1=1,an+1=1-(1/4an)bn,bn=1/2an-1其中n∈N*，

（1）求证{bn}是等差数列
（2）设cn=2^bn,试问{cn}中是否存在三项，，他们成等差数列
（3）已知n≥6时，（1-m/n+3)^n＜1/2^m,其中m=1,2,3，……n，求n∈N*时，满足等式3^n+4^n+……+(n+2)^n=(bn+3)^bn的所有n
急求，明天要用QAQ

Answer 1

bn = an/2^(n-1)
b<n-1> = a<n-1>/2^(n-2)
bn - b<n-1>
= an/2^(n-1) - a<n-1>/2^(n-2)
= (an - 2a<n-1> )/2^(n-1)
把 已知条件 a<n+1> = 2an+2^n 即 an = 2a<n-1> + 2^(n-1) 代入上式
bn - b<n-1>
= 2^(n-1)/2^(n-1)
= 1
因此 bn 是等差数列
b1 = a1/2^(1-1) = 1/1 = 1
bn = n
an/2^(n-1) = n
所以
an = n * 2^(n-1)
Sn = a1 + a2 + a3 + …… + a<n-1> + an
= 1 + 2*2 + 3*2^2 + …… + (n-1)*2^(n-2) + n * 2^(n-1)
2Sn = 2 + 2*2^2 + 3*2^3 + …… + (n-1)*2^(n-1) + n * 2^n
两式子相减， 把 2的乘方相同的相合并在一起
2Sn - Sn = Sn
= -1 + (1-2)*2 + (2-3)*2^2 + (3-4)*2^3 + …… [(n-1) -n]*2^(n-1) + n*2^n
= n*2^n - [ 1 + 2 + 2^2 + …… 2^(n-1)]
= n*2^n - 1*(2^n -1)/(2-1)
= n * 2^n - 2^n + 1
= (n-1)*2^n + 1