Question

初中难度几何题，高手速度进，100分！！！

如图，已知AB∥CD，AB=CD，O是AC的中点，过O作直线分别交AD、BC与E、F两点，交AB、CD于G、H两点.
①图中有几对全等三角形？把它们一一写出来；
②试说明AD∥BC
③OE与OF是否相等，请说明理由.
还有一题，大家再辛苦一下。。。答得好我会考虑加悬赏的
有一片牧场的草，如果放牧27头牛，则6星期可以把草吃光；如果放牧23头牛，则9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，问几个星期可以把草吃光？

Answer 1

1.若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ‖GN，GM平分∠DGP，∠ABP＝30°。下列结论：①∠DGP－∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变。可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求值。
2.在平面直角坐标系中，∠MBA＝∠ABO，∠MCA＝∠ACO，连接AM交BC于N，在①∠BAN＝∠CAO，②∠CAN＝∠ANC这两个灯始终只有一个永远成立，请你判断那一个永远成立，并证明你的结论。
第一个图是第一题的，第二个图是第二题的

问题补充： 

Answer 2

解：①共五对：△ABC≌△DCA，△AEG≌△CFH，△AGO≌△CHO，
△AEO≌△CFO，△DEH≌△BFG；
②证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA
又∵AC=CA
∴ΔABC≌ΔCDA
∴∠ACB=∠DAC
∴AD∥BC；
③OE=OF；
理由：∵AD∥BC，
∴∠E=∠F，∠EAO=∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴AO=OC，
∴△AEO≌△CFO中，
∴OE=OF
第2题
设每头牛一周吃的草量为x，这个草场最初的草量为y，每周草的生长速度为z，则
6*（27x-z）=y
9*（23x-z）=y
解得y=72x，z=15x
故72x/（21x-15x）=12周
12个星期可以把草吃光。

Answer 3

解：①共五对：△ABC≌△DCA，△AEG≌△CFH，△AGO≌△CHO，△AEO≌△CFO，△DEH≌△BFG；

②证明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC；

③OE=OF；
理由：∵AD∥BC，
∴∠E=∠F，∠EAO=∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴AO=OC，
在△AEO与△CFO中，
∠E=∠F∠EAO=∠FCOAO=CO
，

∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF．

追问

第二题换个方法，我们没学到平行四边形。。。

追答

你证明△abc≌△acd
∠cad=∠acb
AD∥BC

Answer 4

1、解：
图中：
△ABC≌△CDA，△AEG≌△CFH，△AGO≌△CHO，△AEO≌△CFO，△EDH≌△FBG
2、证明
∵AB∥CD
∴∠BAC＝∠DCA
∵AB＝CD、AC＝AC
∴△ABC≌△CDA （SAS）
∴∠ACB＝∠CAD
∴AD∥BC
3、
∵AD∥BC
∴∠E＝∠F，∠CAE＝∠ACF
∵O是AC的中点
∴AO＝CO
∴△AEO≌△CFO （AAS）
∴OE＝OF

设每头牛一周吃的草量为x，这个草场最初的草量为y，每周草的生长速度为z，则

6*（27x-z）=y
9*（23x-z）=y

解得y=72x，z=15x

故72x/（21x-15x）=12周

12个星期可以把草吃光。

Answer 5

解：
1.△ABC≌△CDA，
△AEO≌△CFO
△EHD≌△FGB
△AGO≌△HCO
△AEG≌△CFH

2.∵AB∥CD，AB=CD
∴ 四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）
∴AD∥BC

3.∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）
∠EAO=∠OCF（两直线平行，内错角相等）
OA=OC（O是AC的中点）
∴△AEO≌△CFO
∴OE=OF