Question

已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn,且满足

已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn,且满足a3*a4=117,a2+a5=22. (1)若数列{bn}是等差数列，且bn=Sn/(n+c),求非零常数c； （2）求f(n)=b/[(n+36)*b(n+1)]的最大值（n是正整数） b(n+1)括号内为下标。

Answer 1

（1）等差数列{an}中有性质：a2+a5=a3+a4 ，题目条件可以化为 a3+a4=22 a3*a4=117，说明a3，a4是一元二次方程x^2-22x+117=0的根 解两根为9和13，由于公差大于0，所以a3=9, a4=13，进而可以得到 首项a1=1，公差d=4，an=1+（n-1)*4=4n-3 Sn=(a1+an)n/2=(1+4n-3)n/2=n(2n-1)=2n^2-n 数列{bn}是等差数列,它的通项公式最多是关于n的一次式， 设bn=pn+q,由于bn=Sn/(n+c), 所以pn+q=Sn/(n+c), 即(pn+q)(n+c)=Sn 整理得：pn^2+(cp+q)n+qc=2n^2-n，两边对应系数相等 就有：p=2,cp+q=-1,qc=0, 在qc=0当中，由于c≠0,所以q=0，代入到cp+q=-1中去，可以得到 cp=-1,从而c=-1/p=-1/2，所求的c的值就是-1/2。此时，bn=2n （2），求f(n)=b/[(n+36)*b(n+1)]的最大值， 我怀疑分子上应该是bn，不知道对否，单独的b就没有办法了。 这样的话，f(n)=bn/[(n+36)*b(n+1)]=（2n)/[(n+36)*2(n+1)] =n/(n^2+37n+36) =1/[n+(36/n)+37] 分母：n+(36/n)+37≥2(√36)+37=49（n=6时候取等号） 从而f(n)≤1/49 ，即n=6的时候，f(n)取得最大值1/49。

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