Question

关于三角函数。教科书上的一题我不是很清楚，求详解。“求3分之5π（注释：π读派）的正弦和余弦”高分50

解是这么说的”在直角坐标系中作∠AOB＝3分之5π。易知∠AOB的终边于单位圆的交点坐标为（2分之1，负2分之根号3）。我就想问这个“交点坐标为（2分之1，负2分之根号3）”是怎么来的。

Answer 1

角AOB是三分之五派，就相当于2π的基础上减去三分之派 也就是减去60度。在坐标图上，第四象限的那根线与单位圆的交点B，过B点做X,Y轴的垂线，在X轴上的垂足为D，可以知道角COA是60度，角OBD为30度，由于是单位圆，所以OB为1，因为在直角三角形OBD中，30度所对应的边是斜边的一半，所以OD是 二分之一，即所求坐标的横坐标。再用勾股定理即可算出DB的长度为二分之根号三。。由于该点在第四象限，所以横坐标是正的，纵坐标是负的。
其实 在直角三角形OBD中,可以利用三角函数求解，，如果熟练的话

Answer 2

OB射线的倾斜角为2π/3,斜率k=-tanπ/3=-√3

OB射线方程为y=-√3x（x≥0)
单位圆的方程为x²+y²=1
两个方程联立解出射线与单位圆
交点B((1/2,-√3/2)

可能你们还没有学习直线与圆的方程
这块知识属于平面解析几何初步。
之所以出现这样的问题是因为教材的
编撰顺序出现混乱造成的。三角函数
在新课程的必修4，平面解析几何初步
在必修2，编书者是按1,2,3,4,5的顺序
编的，但在各地学校老师教的顺序可能
不是这个顺序，比如很多地方是按
1-4-5-2-3或1-4-5-3-2的顺序教。

追问

可不可以在详细一点，把涉及到的公式也写下来，谢谢您了。OB射线的倾斜角为2π/3,斜率k=-tanπ/3=-√3 ？？

追答

直线的倾斜角，是直线向上的方向和x轴正方向的夹角
比如：直线y=x的倾斜角为45º，直线y=-x的倾斜角为135º
倾斜角不等于90º时，其正切值为直线的斜率，用k表示
给出一个点P(x0,y0),给出斜率可以得到直线的方程
y-y0=k(x-x0)

射线OB向上方向与x轴正方向夹角为2π/3
∴射线OB的倾斜角为2π/3,正切值为负值
斜率k=-tanπ/3=-√3

过（0，0) ∴方程为y-0=-√3(x-0)

Answer 3

单位圆的半径就是1。所以（2分之1，负2分之根号3）这个点的横纵坐标平方和是一。
∵∠AOB＝3分之5π=300°
∴360°-300°=60°
sin60°=2分之根号3
cos60°=1/2.
即B点坐标为（cos60°，sin60°）
也就是（1/2，2分之根号3）

Answer 4

直观地讲，单位圆可以当成是半径为一的圆，那么OB及等于一，因为OB边与x轴夹角为60度，不难用60度特殊角的三边关系解出B点，及∠AOB的终边于单位圆的交点的坐标。

这是比较通俗的想法，如果你还想明白得更透彻一些，可以看我下面这位“ 随缘_g00d”老兄的，他的解答对知识更深的孩子帮助更大，我的这种说法只是比较好懂而已，做法不是特别规范。