Question

设函数f(x)=ln(ax^2+2ax+1)若函数的值域为r,求实数a的取值范围

Answer 1

f(x) = ln(ax²+2ax+1)值域为R
则g(x) = ax²+2ax+1的值域必须包含所有正数
如果a=0，则g(x)=1显然不能成立；
如果a＜0，则g(x)的函数图像开口向下，显然也不能包含所有正数。
只有a＞0时，并且极小值小于或等于零时，g(x)的值域才能包含所有正数：
g(x) = ax²+2ax+1 = a(x+1)²+1-a，当x=-1时有极小值1-a，1-a≤0，∴a≥1
实数a的取值范围【1，+∞）

Answer 2

要使这个函数的值域为R，那么真数，即小括号内的部分应该能取遍一切正数，而这部分是一个二次函数，也就是这个二次函数的值域必须是大于等于一个负数或零（要想明白这一点）也就是它的最小值为0或负，
所以要满足a>0（开口向上）及判别式Δ≥0（与x轴至少有一个公共点）
Δ=(2a)^2-4*a*1≥0, 4a^2-4a≥0, 4a(a-1)≥0, 所以a≤0或a≥1, 此式与a>0取交，所以a≥1
如果a=0,把它代入函数式，f(x)=ln1=0, 这是一个常数函数，它的定义域为R，表示的是一条x轴， 所以a=0也满足题意
如果a<0是不满足题意的
综上a=0或a≥1

Answer 3

f(x)=ln(...) 值域为R 则定义域必须是(0, +无穷大) 不能是(1, +无穷大) 必须是(0, +无穷大)
也就是ax^2+2ax+1的值域是 (0, +无穷大)
对a分类讨论：

(1) a=0 不满足题意
(2) a!=0 开口向上的 delt=0的二次函数
delt=(2a)^2-4*a*1=0
a=1 (a!=0)
综上：a=1