将函数f(x)=π -X (0≤x≤π)展开为以2π 为周期的余弦级数 10

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chenghf2010
2014-06-30 · TA获得超过296个赞
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傅立叶级数的公式可以参见任何一本微积分/高等数学/数学分析 方面的教科书,网上也可查到,如

徐小湛的博客 用Maple求函数的傅里叶级数 (网易博客)

(下图即出自该博客)

首先,应将
f(x) = π - x  (0≤x≤π)延拓为偶函数,
即 0≤x≤π时,f(x) = π - x;
-π≤x<0时,f(x) = π + x;

再将f(x) 延拓为以2π为周期的偶函数

即 2kπ≤x≤(2k+1)π时,f(x) = π - x;
(2k-1)π<x<2kπ时,f(x) = π + x;


函数大致图像为:

再由傅立叶级数的系数公式,计算a_n, b_n。
因为f(x)延拓为偶函数,sin(nx)为奇函数,故进行傅立叶级数展开后,sin(nx)的系数必定为0。

由前面系数公式算出a_0 = π,
a_n = -(2*(cos(π*n)-1))/(π*n^2);
n=2k时(k∈Z), cos(π*n)=1,
n=2k-1时(k∈Z), cos(π*n)=-1,
即 cos(π*n) =(-1)^n;
所以:
n=2k时(k∈Z),a_n = 0;
n=2k-1时(k∈Z),a_n = 4/[(2k-1)^2*π];

所以,f(x) = π + 4cos((2k-1)*x)/[(2k-1)^2*π]。

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