Question

求各位大神解答，要详细过程，急用！！

Answer 1

22.（1）f(x)=x^3+x^2-x+m,
f'(x)=3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1),
-1<x<1/3时f'(x)<0,f(x)是减函数，其他，f(x)是增函数，
f(x)的极大值=f(-1)=1+m,f(x)的极小值=f(1/3)=-5/27+m,
f(x)有3个互不相同的零点，
<==>1+m>0>-5/27+m,
<==>-1<m<5/27.
(II)f'(x)=3x^2+2ax-a^2=(x+a)(3x-a)在[-1,1]内没有零点，a>0,
<==>-a<-1,1<a/3.
<==>a>3.
(III)对任意a∈[3,6],不等式f(x)<=1在x∈[-2,2]上恒成立，
把f(x)看成a的二次函数，其图像的对称轴a=x/2<3,所以问题变为
x^3+3x^2-9x+m<=1,x^3+6x^2-36x+m<=1在x∈[-2,2]上恒成立，
<==>m<=1+9x-3x^2-x^3=g(x),m<=1+36x-6x^2-x^3=h(x)在x∈[-2,2]上恒成立，
下面求g(x),h(x)的最小值：
g'(x)=9-6x-3x^2=-3(x-1)(x+3),-2<x<1时g'(x)>0,g(x)是增函数，1<x<2时g(x)是减函数，
g(-2)=-21,g(2)=-1,∴m<=g(-2)=-21;
h'(x)=36-12x-3x^2=-3(x^2+4x-12)=-3(x-2)(x+6)>=0,∴m<=h(-2)=-87,
综上，m<=-87.