Question

判断级数敛散性,是条件收敛还是绝对收敛∑(-1)^(n-1)(tan1/n^p-1/n^p)

Answer 1

当p<=0时，发散，因为这个时候一般项不趋于0；
当p>1时，绝对收敛。当n足够大时，其一般项的绝对值为tan1/n^p-1/n^p（因为当x很小的时候有tanx>x），而lim(tan1/n^p-1/n^p)/(1/n^p)=0（n趋于无穷，罗比塔法则即可），而级数1/n^p收敛，根据比较判别法，原级数绝对收敛。
当0<p<=1时，级数是否绝对收敛还没有判断出来，但收敛是肯定的，因为当n足够大时，tan1/n^p-1/n^p单调递减（求导容易判别单调性），所以原级数为莱布尼茨级数，肯定收敛。
希望能对你有所帮组，至于最后那种情况是否绝对收敛，我要再考虑考虑，如果你有答案的话也请告诉我。

追问

辛苦您了。这道题我完全没有思路，答案是01/3绝对收敛

追答

是的，我也算出来是这个答案。
当p=1时，和1/n^2作比较可得绝对收敛。
当1/2<p<1时，一定存在一个数k，使得1<k<2p，然后和1/n^k作比较可得绝对收敛。
当1/3<p<=1/2时，一定存在一个数k，使得1<k<3p，然后和1/n^k作比较可得绝对收敛。
当p=1/3时，和1/n作比较可知不会绝对收敛，而只能条件收敛。
当p<1/3时，可以找到k，使得3p<k<1，然后和1/n^k作比较可知不会绝对收敛，从而也只能条件收敛。
中间出现这么多分数分段的原因是因为用原级数与1/n^k作比较时，需要用到多次罗必塔法则求极限，然后经过讨论得到那些分数分段点。这中间过程有点复杂，计算也比较麻烦些，你可以自己算算。
事实上，在判断广义积分和具有单调性的级数的敛散性的时候通常都会和1/n^k作比较。