Question

已知m∈R，设函数f（x）=x3-3（m+1）x2+12mx+1．

若f（x）在（0，3）上无极值点，求m的值；
解：由题意知f′（x）=3x2-6（m+1）x+12m=3（x-2）（x-2m）．由于f（x）在[0，3]上无极值点，故2m=2，所以m=1．

为什么“f（x）在[0，3]上无极值点，故2m=2”？

Answer 1

f (x) = x³ - 3(m+1)x² + 12mx + 1
f '(x) = 3x² - 6(m+1)x + 12m = 3(x-2)(x-2m)
可见，x=2时，f '(2) = 0
即曲线在x=2处的切线与x轴平行

又∵f(x)在（0，3）无极值点
∴必须使x∈（0，2）和x∈（2，3）两个区间的单调性相同（同为单调增，或同为单调减），即在这两个区间内，除了x=2这个点之外，其余点的f '(x)始终为正数，或负数
∴只有一种可能，就是 (x-2)(x-2m) = (x-2)²，舍此无他
∴2m=2
∴m=1

Answer 2

x=2和x=2m是f'的零点，如果x=2m是除x=2外的不同零点，那么在x=2左右两侧f'会变号，则x=2是f的极点。因此x=2m必须与x=2重合，即2m=2。