Question

已知椭圆C:x/a+y/b=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1（-根号2，0），F2（根号2，0），离心率为根号6/3。拜托

（1）求椭圆C的方程 （2）过点A（2,0）作一条斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N，若向量OM.向量ON=0（0为坐标原点），求直线l的方程

Answer 1

证明: 由于:F1,F2为(x^2/2) y^2=1的左右焦点 则：F1(-1,0),F2(1,0) 由于：直线L：y=kx m与椭圆C交于M、N两点 则设M(x1,y1),N(x2,y2) 则有：y1=kx1 m-------(1),y2=kx2 m--------(2) 同时联立L与C的方程有： x^2 2(kx m)^2=2 (1 2k^2)x^2 4kmx 2m^2-2=0 则由韦达定理，得： x1 x2=(-4km)/(1 2k^2) -------(3) x1x2=(2m^2-2)/(1 2k^2) -------(4) 由于：直线F2M与F2N的倾斜角分别为α、β 则：kF2M=tanα,kF2N=tanβ 又：αβ=π；则：kF2N=tan(π-α)=-tanα 则有：kF2M kF2N=0 -------(5) 又：M(x1,y1)N(x2,y2)F2(1,0) 则有：kF2M=y1/(x1-1),kF2N=y2/(x2-1) 将(5)代入得：y1/(x1-1) y2/(x2-1)=0 化简：y1(x2-1) y2(x1-1)=0 将(1)(2)代入得： (kx1 m)(x2-1) (kx2 m)(x1-1)=0 2k(x1x2) (m-k)(x1 x2)-2m=0 将(3)(4)代入得： 2k(2m^2-2)/(1 2k^2) (m-k)(-4km)/(1 2k^2)-2m=0 2k(2m^2-2) (k-m)(4km)-2m(1 2k^2)=0 化简得：m=-2k 则直线L：y=kx-2k 即L：y=k(x-2) 故直线L过定点(2,0)，得证