Question

高二数学椭圆与圆相交类型

椭圆的中心在原点 焦点在x轴上,离心率为2分之根号3,它与圆(x-2)的平方+（y-1）的平方=2分之5相交于A,B两点，且线段AB恰为该圆的直径。1.求直线AB斜率 2.且椭圆方程
主要是第二问！！跪求！！

Answer 1

解：（1）∵圆x2+y2-4x-2y+5 2 =0，
∴圆（x-2）2+（y-1）2=5 2 ，
∴直径AB=2 5 2 = 10 ，
∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，
∴设椭圆：x2 a2 +y2 b2 ＝1（a＞b＞0），
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（2，1）
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入椭圆：x2 a2 +y2 b2 ＝1，
得 x12 a2 +y12 b2 ＝1 x22 a2 +y22 b2 ＝1 ，∴b2（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴4b2（x1-x2）+2a2（y1-y2）=0，
∴k=y1−y2 x1−x2 =-2b2 a2 ，
∵离心率为 3 2 ，∴c a ＝ 3 2 ，
∴c2 a2 =a2−b2 a2 =1-b2 a2 =3 4 ，∴b2 a2 =1 4 ，
∴k=y1−y2 x1−x2 =-2b2 a2 =-2×1 4 =-1 2 ．
（2）∵AB的中点是（2，1），斜率k=-1 2 ，
∴AB的方程为：y=-1 2 x+2，
由（1）得a2=4b2，∴椭圆方程为x2+4y2-4b2=0，
将直线AB的方程y=-1 2 x+2，代入椭圆方程x2+4y2-4b2=0，得：
x2-4x+8-2b2=0，
∴x1+x2=4，x1x2=8-2b2，
|AB|= (1+1 4 )[16−4(8−2b2)] = 10 ，
解得b2=3，∴a2=12，
故椭圆的方程为：x2 12 +y2 3 ＝1．