Question

证明:当0<x<π时,∑(n=1到∞)1/(2n-1)*sin(2n-1)x=π/4

Answer 1

把右边在定义域内奇延拓，再做傅里叶展开，就是左边的式子

追问

不是太懂唉 能写一下具体步骤吗？多谢！！没有学过傅里叶级数 希望您能讲的详细些~

Answer 2

构造以t为变量的幂级数：

f(t) = sum (1/2n-1)*sin(2n-1)x*t^(2n-1)

Dirichlet判别法告诉我们，f(t)在[0,1]上处处收敛。幂级数的阿贝尔定理说，如果一个幂级数在一点处收敛，那么它也在该点处连续。借此，我们将求出f(1)。

根据幂级数的性质，f(t)在(0,1)内可以逐项微分，所以

f'(t) = sum sin(2n-1)x*t^(2n-2)

利用复数的欧拉公式，将f'(t)视作收敛复级数

(1/t)*sum (e^(ix)(t)^(2n-1)

的虚部，可以求得

f'(t) = (sin x*(1+t^2))/(t^4 - 2t^2*cos(2x) + 1)

另一方面，明显地，f(0)=0。所以根据阿贝尔定理，

f(1) = int f'(t) dt

积分从0积至1。将前述f'(t)的表达式代入，这是一个关于t的有理积分。我们用部分分式：

f'(t) = (1/2)*sin x * (1/(t^2 + t*cos x + 1) + 1/(t^2 - t*cos x + 1))

计算上述积分，即得所求

追问

将f'(t)视作收敛复级数

(1/t)*sum (e^(ix)(t)^(2n-1)

的虚部，可以求得

f'(t) = (sin x*(1+t^2))/(t^4 - 2t^2*cos(2x) + 1)
这里没怎么看懂，麻烦您详细讲讲呗，谢谢啦~~~

追答

貌似是把一个乘号打成括号了……f'(t)的每一项

sin(2n-1)x*t^(2n-2)

是对应的

(1/t)*(e^(ix)*t)^(2n-1)

的虚部。然后就是等比级数求和，再取其和函数的虚部

追问

求和函数怎么说明e^(ix)*t小于1呢？求和之后的结果是e^(ix)/[1-e^(ix)*t]吗？然后虚部怎么求呢？

追答

求和的结果是对的。至于收敛性，这里是复数的求和，所以要求的是e^(ix)*t的模长小于1。当然|e^(ix)*t| = |t|，而根据假设，0<t<1，所以这个复级数是绝对收敛的

追问

麻烦您把e^(ix)/[1-e^(ix)*t]虚部的求法写一下呗

追答

刚才有一点讲错了，求和的结果应该是

e^(ix)/(1-e^(2ix)*t^2)

为求出它的虚部，只要把这个表达式写成a+bi的形式：

e^(ix)/(1-e^(2ix)*t^2)
=(cos x + i sin x)/(1 - t^2*cos(2x) - it^2*sin(2x))
=(cos x + i sin x)*(1 - t^2*cos(2x) + it^2*sin(2x))/(1 + t^4 - 2t^2*cos(2x))
=实部+i*(sin x*(1 - t^2*cos(2x)) + cos x*t^2*sin(2x))/(t^4 - 2t^2*cos(2x) + 1)

所以虚部是：

sin x*(1 - t^2*(2cos^2 x - 1) + t^2*2cos^2 x)/(t^4 - 2t^2*cos(2x) + 1)

化简之后就是原来所讲的结果

追问

求和的结果为什么是e^(ix)/(1-e^(2ix)*t^2)啊？(1/t)*sum(e^(ix)*t)^(2n-1)=(1/t)*(e^(ix)*t)/[1-(e^(ix)*t)]=e^(ix)/[1-e^(ix)*t]

追答

因为n前面有个系数2，所以公比是(e^(ix)*t)^2

追问

谢谢 那应该是f'(t) = sin x /2* (1/(t^2 +2 t*cos x + 1) + 1/(t^2 -2 t*cos x + 1))
请问∫1/(t^2 +2 t*cos x + 1) dt(0->1)怎么求啊？

追答

把分母改写成

(t+cos x)^2 + sin^2 x

然后换元，化归为形如

1/(u^2 + 1)

的积分。讲有理函数积分的时候应该有这种例子，回去翻翻书吧XD