Question

求数学学霸看看下面这道三重积分题

Answer 1

方法一：高斯公式。
补充平面∑1:z=0(x^2+y^2≤4)，取上侧。则∫∫(∑-∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫∫(z+0)dxdydz=4π。∫∫(∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π。所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=4π+8π=12π。

方法二：上半球面上侧的法向量n=(x,y,z)，所以dzdx=y/zdxdy，所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) (y^2+2)dxdy=∫∫(D) (y^2+2) dxdy=12π，其中D是x^2+y^2≤4。

方法三：∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π。∑分为两部分∑1:y=√(4-x^2-z^2)，取右侧；∑2:y=-√(4-x^2-z^2)，取左侧。∑1与∑2:在zox面上的投影都是D:x^2+z^2≤4,z≥0。∫∫(∑) yzdzdx=∫∫(∑1) yzdzdx+∫∫(∑2) yzdzdx=2∫∫(D) z×√(4-x^2-z^2)dzdx=4π。所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=12π。 .

Answer 2

先给好评在回答。骗你我sb

追答

狗王八逼