Question

微分方程y"-2y'=x的特解的形式

Answer 1

对应的齐次线性方程是y''-2y'=0，特征方程是r^2-2r=0，得r=0或2。
x=x*e^(0*x)，λ=0是特征方程的单根，所以，非齐次线性方程的特解可设为x*(ax+b)*e^(0*x)=ax^2+bx，a,b是任意实数。

追问

y“-4y'+4y=e2x 因为r=2为重根，设方程特解为y=x*2 a e*2x
上面的为什么是ax+b 这个是a ,这个实数有形式限制没

追答

e^(2x)看作是1×e^(2x)，由1决定特解里面的常数a这一部分。

追问

怎样是由1决定，什么意思，为什么他的特解不设成(ax+b)x*2e*2x

追答

e^(2x)=1*e^(2x)，1是零次多项式，假设特解时，对应1的部分也应该是零次多项式，所以特解设为x^2*a*e^(2x)

追问

什么是零次多项式，什么时间假设特解时设(ax+b），就如上面的特解形式为什么不是x*a*e^o*x，要是x*(ax+b)*e^(0*x)

追答

零次多项式就是常数。比如右边是x*e^(2x)，那么特解设为x^2*(ax+b)e^(2x)；再比如右边是(x^2+1)*e^(2x)，特解要设为x^2*(ax^2+bx+c)e^(2x)。。。。。。。教材上都总结好了

Answer 2

特征方程为：x^2-3x+2=0, 得特征根为1，2
解齐次方程的解为：c1e^x+c2e^2x
由于右端也为e^x, 为特征根之一，因此可设特解为：y*=(ax^2+bx+c)e^x
是否可以解决您的问题？