Question

已知函数f(x)=e^x-1/e^x-ax(a∈R) (1)当a=3/2时，求函数f(x)的单调区间 （2）若函数f(x)在

已知函数f(x)=e^x-1/e^x-ax(a∈R) (1)当a=3/2时，求函数f(x)的单调区间 （2）若函数f(x)在［-1，1］上为单调函数，求实数a的取值范围
第二问！！谢谢！！

Answer 1

（1）
f(x)=e^x-1/e^x-ax(a∈R)

f'(x)=e^x+1/e^x-a
根据均值定理
e^x+1/e^x≥2
当a≤2时，f'(x)≥0恒成立，
f(x)递增区间为(-∞,+∞)

当a>2时，由e^x+1/e^x-a>0
==> e^(2x)-ae^x+1>0
==> e^x<[a-√(a²-4)]/2或 e^x>[a+√(a²-4)]/2
==> x<ln{[a-√(a²-4)]/2}或x>ln{[a+√(a²-4)]/2}
函数递增区间为
(-∞, ln{[a-√(a²-4)]/2}), (ln{[a+√(a²-4)]/2},+∞)
递减区间为
（ ln{[a-√(a²-4)]/2}，ln{[a+√(a²-4)]/2}）

（2）
若f(x)在［-1，1］上为单调递增函数，
那么f'(x)≥0恒成立，
即a≤e^x+1/e^x恒成立，
设g(x)=e^x+1/e^x
需a≤g(x)min
g'(x)=e^x-1/e^x
令g'(x)=0,得x=0
x∈[-1,0),时，g'(x)<0,g(x)递减
x∈(0,1]时，g'(x)>0,g(x)递增，
g(x)min=g(0)=2
∴a≤2

若f(x)在［-1，1］上为单调递减函数，
那么f'(x)≤0恒成立，
需a≥g(x)max=g(1)=e+1/e
∴实数a的取值范围是

(-∞,2]U[e+1/e,+∞)