Question

如图点a是圆o上一点,oa 垂直ab且oa=1,ab=根号3,ob交圆o于点d,作ac垂直ob垂

为m并交圆o于点c,连接bc(1)求证bc是圆o的切线(2)过点b作bp垂直ob交oa的延长线于点p连接pd求bd÷pd的值

Answer 1

如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=√3    ，OB交⊙O于点D，

作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求BD÷PD（即sin∠BPD）的值．

 

 

（1）证明：连结OC，如下图，

∵AC⊥OB，
∴AM=CM，
∴OB为线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，
在△OAB和△OCB中
OA＝OC    

OB＝OB    

BA＝BC ，
∴△OAB≌△OCB（SSS），
∴∠OAB=∠OCB，
∵OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
故BC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB= √ 3    ，
∴OB=  √（AB^2+OA^2  )  =2，
∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，
∵PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，
在Rt△PBO中，OB=2，
∴PB=  √3OB=2 √ 3   ，
在Rt△PBD中，BD=OB-OD=2-1=1，PB=2 √ 3    ，
∴PD= √（PB^2+BD^2 )   

=  √13   ，
∴BD÷PD=1÷√13=13/√13.