Question

改变二次积分的积分次序一定要画图吗 急，，，

Answer 1

自己有强迫症，转换次序强迫自己不画图，一点心得：首先二重积分假设x变量的区域是一个常数范围[a,b]，y的范围是[f(x),g(x)]，如果积分区域是一个封闭区域，那么y=f(x),y=g(x)肯定会和x=a,x=b有交点，两两相交交点一定是1个，因为一个自变量确定一个因变量嘛，会得到得到四个点（a,fa）(b,fb);(a,ga),(b,gb);有时这四个点可能会有两个点相互重合，也就是实际求出三个点，也可能两两重合，最终得出两个点。这里fa,fb,ga,gb这四个常量就可以确定y的范围了,其中最小的值确定了y的下限，最大值确定了y的上限。
然后再来看转换成先积分的x，对于f(x)<y<g(x),要参考x的常数取值范围分析，比如x^2<y<x,如果x>0,那么很显然可以整段积分，转换成y<x<y^(1/2),但是如果x可能<0,就必须将x分成两段，先将转换前的二重积分按照x=0分成两部分，两部分分别进行转换。
如果f(x)与g(x)中存在一个常数，如c<y<x,在这个函数中y<x<b
在以上述情况（主要是在不等式变号位置对积分进行分段）为前提，如果在解fx<y<gx时出现x>f-1(y)=my,x>g-1y=ny的情况，且在取值范围内有my>ny(若在y取值范围内分情况讨论两函数大小关系，则对积分继续分段）则应当取x>my。反之x<my,x<ny,则取x<ny，总之在范围内取x范围小的情况，不取大的情况。
综上所述，贯穿的思想是，对于x型函数转换成y型函数的情况则应在范围内取y范围最大的情况，取x范围最小的情况，反之亦然，这也是二重积分的基础取值方法决定的。

Answer 2

1、如果自己解题，只要脑中清楚，画不画图，没有关系。

2、如果是参加考试，就必须画出来，这是阅卷评分的一部分。
一般正规的考试中，试卷的评分标准 = marking scheme，
都会有具体的细节，哪一步几分，哪一步几分，清清楚楚。

3、画图的另外的好处是：经常画，空间立体图形、各种函数
的图像、各种极坐标方程的图像，都会留下很深刻的印象。
时间久了，脑中图像多了，其实就有了很多直觉。洋人教
学中，最喜欢说的一句话，就是make sense，画多了就
自然而然地有了sense，直觉、悟性就这样形成了。学平
面几何时，我们都有一个体会，有时不知道怎么下手，结
果画了一条线，就豁然明朗起来。积分也是这样，图一画
灵感随之而来的情况，经常发生。

4、如果作为教师，绘图还有两个好处：
一是使得学生印象深刻、概念清楚；
二是可以缓解一时脑袋不灵时，想一想究竟怎样讲解为好。