Question

一道高中数学题，求学霸帮忙！！

已知函数f﹙X﹚＝1／3aX²－bX－lnX，其中a，b∈R。
﹙1﹚当a＝3，b＝﹣1时，求函数f﹙X﹚的最小值。
﹙2﹚若曲线y＝f﹙x﹚在点﹙e，f﹙e﹚﹚处的切线方程为2x﹣3y﹣e＝0，求a，b的值。
﹙3﹚当a＞0，且a为常数时，若函数h﹙x﹚＝x[f﹙x﹚＋lnx]对任意的x1＞x2≥4，总有h﹙x1﹚－h﹙x2﹚／x1－x2＞﹣1成立，试用a表示出b的取值范围。

Answer 1

1、当条件成立，f(x)=X²+x-Inx（x＞0）

求导后可变成g(X)=2x+1-1\x=（2X²+x-1)\x，之后根据单调求出f(x)min=f(1\2)=3\4+In2

2、先代入点﹙e，f﹙e﹚﹚，得f(e)=1\3ae^2-be-1
之后求导后再代入点﹙e，f﹙e﹚﹚，得2\3ae-b-1\e=2\3

且2e-e=3f(e)
从而解出a=1\e b=-1\e
3、h(x)=1\3ax^3-bx^2(x>0)
h﹙x1﹚－h﹙x2﹚／x1－x2＞﹣1变成h﹙x1﹚－h﹙x2﹚
变成h﹙x1﹚+x1>h﹙x2﹚+x2
所以构造函数g(X)=h(X)+x,那么对于x>=4时，g(x）是单调递增函数。
即g(x)=1\3ax^3-bx^2+x是单调递增函数，求导后aX²-2bx+1>=0(x>=4)
因为a>0,开口向上。
所以解出当b^<a时,-根号a<b<根号a
当b^2=a,b<=4a
当b^2>a,当a>1/16时，b<2a+1\8
当a<=1\16时，b<4a
很荣幸能能够为你解答哈，O(∩_∩)O~~~~

Answer 2

ln(0.7^1.3)=1.3ln0.7<0
ln(1.3^0.7)=0.7ln0.3>0>ln(0.7^1.3)
1.3^0.7>0.7^1.3
(0.7^1.3)^m>(0.7^1.3)^m
m>0
这样可以么？