Question

高等数学，这题真的需要请大神了。 要详细过程。100分

一根长一米的橡皮筋，一只甲虫从橡皮筋左端向右端爬行，相对脚下橡皮筋速度一米每秒，同时，橡皮筋右端相对左端以一米每秒的速度向右拉长，如果橡皮筋没断，甲虫爬到右端的时候橡皮筋多长。

Answer 1

设T时间甲虫爬到右端

在t时刻，橡皮筋长1+t，dt时间内甲虫爬行1·dt，爬过的百分比为【1/（1+t)】dt

因此∫（0到T）【1/（1+t)】dt=1，
积分得ln(1+T)=1，所以T=e-1

橡皮筋长度为e-1+1=e米

追问

确定无误么？貌似就是这个答案

追答

肯定无误，除非你甲虫速度不是1米每秒是1厘米每秒的话答案就是100(e-1）我口算了下应该是这个

Answer 2

关键是认识到橡皮筋的延长是均匀的。每次延长时，虫子走过的部分也延长了，因此无论延长与否，蚂蚁已走完的比例是不会变的~~

1s后，蚂蚁爬了总长的1cm/1m=1/100. 此时皮筋延长为2m.
2s后，蚂蚁爬了总长的1cm/2m=1/200. 此时皮筋延长为3m.
3s后，蚂蚁爬了总长的1cm/3m=1/300. 此时皮筋延长为4m.

依此类推，第n秒后蚂蚁爬了总长的1/100+1/200+…+1/100n=0.01(1+1/2+1/3+…+1/n).
令0.01(1+1/2+1/3+…+1/n)=1, 即1+1/2+…1/n=100, 解出n即可（调和级数发散，所以这样的n是存在的）。

下面估计一下n. n显然比较大, 这时1+1/2+…1/n≈lnn+C, C为欧拉常数。
这样n≈e^(100-C). 由于C大致是0.5, 相对于100比较小，也可估计n为e^100.

我抄的

追问

下次记得附上原地址链接。

追答

不能给链接，会被吞

追问

橡皮筋是连续变的。

追答

http://zhidao.baidu.com/question/322807942.html
不知道会不会被吞

追问

原帖是每秒一次的，这次是渐变的。

Answer 3

设t秒时刻：甲虫距离皮筋左端为y＝f(t)，皮筋长度为显然为1+t
则此时甲虫相对左端速度为1+ y/（1+t),
即：y'=1+y/(1+t)
这是微积分方程，忘记得差不多了，真不知道接下来如何作？

追问

嗯 我也能做到这。
哈哈 没少宅dota吧。
答案选了，给赞同吧。

追答

现在知道作了：
y=(1+t)(y'-1)
两边求导
y'=y'-1 +(1+t)y''
y''=1/(1+t)
y'=ln(1+t) +C， 取 t=0, y'=1知C＝1
y'=1+ln(1+t)
y=t +(1+t)[ln(1+t)-1] +D，取t=0, y=0知D＝1
y=(1+t)ln(1+t)
取y=1+t, ln(1+t)=1, t=e-1
结论：1+t=e=2.73........

Answer 4

甲虫相对脚下橡皮筋速度为一米每秒 ， 橡皮筋以一米每秒的速度向右拉长
理解可以知道甲虫的速度为2米/秒 橡皮筋的速度为1米/秒
设甲虫爬到右端的时间为T秒，则
1+1*T=2*T （橡皮筋原厂+拉伸的长度=甲虫爬过的长度）
解得T=1秒
这时候橡皮经的长度为2米

追问

橡皮筋每处速度不均匀。

Answer 5

个人感觉只是一道高中物理题
实际上 甲虫是在做初速度为 1m/s的匀变速直线运动 而末速度就是甲虫在橡皮筋右端速度 2m/s
橡皮筋在 匀速地变长
vt^2-vo^2=2as
s=1+t
a=(vt-v0)/t
联立可以解出
t=2s
a=0.5m/s^2
s=3m

Answer 6

追及路程=速度差×追及时间
追及时间=追及路程÷速度差
速度差=追击路程÷追及时间
速度差=速度快的速度=速度慢的速度
设绳子的速度设每秒一米，路程为a，
那马虫子的速度为每秒一厘米，路程为b。
也就是说：追及时间=（am-bcm)/(1m-1cm)
追及时间=ab

Answer 7

推荐答案解法错误。应以微积分来做。因为每一秒都在延长，第一秒内已走过路程会被拉长。