Question

已知函数f（x）=a（x-1）-2lnx （a为常数） 1，当a=1时，求f（x）的单调区间 2，

已知函数f（x）=a（x-1）-2lnx （a为常数）
1，当a=1时，求f（x）的单调区间
2，若f（x）在区间（0，1）上无零点，求a的最大值

Answer 1

已知函数f（x）=a（x-1/x）-2lnx a属于r，求函数f（x）的单调区间
解析：∵函数f（x）=a（x-1/x）-2lnx a属于r，其定义域为x>0
∴f’(x)=a(1+1/x^2)-2/x=[a(1+x^2)-2x]/x^2
令a(1+x^2)-2x>0==>a=2x/(1+x^2)
a(1+x^2)-2x=ax^2-2x+a
⊿=4-4a^2>=0==>-1<=a<=1
∵x>0,∴0<a<=1
当a<=0时，f’(x)<0，函数f(x)在定义域内单调减；
当0<a<1时，令a(1+x^2)-2x=0==>x1=[1+√(1-a^2)]/a
x∈(0,x1)时，f’(x)>0，x∈(x1，+∞)时，f’(x)<0，
当a>=1时，f’(x)>=0

综上：当a<=0时，f’(x)<0，函数f(x)在定义域内单调减
当0<a<1时，x∈(0,x1)时，函数f(x)单调增；，x∈(x1，+∞)时，函数f(x)单调减；
当a>=1时，函数f(x)在定义域内单调增