Question

数列极限问题

Answer 1

由题意得到xn>0
x(n+1)=1+xn/(1+xn)
xn=1+x(n-1)/[1+x(n-1)]
两个式子相减得到
x(n+1)-xn=[xn-x(n-1)]/xnx(n-1)

所以x(n+1)-xn与xn-x(n-1)同号。
因为x1=1,x2=3/2，
所以x2-x1>0，
那么可以逐项递推得到x(n+1)-xn>0
所以x(n+1)>xn
所以数列是个增数列。

且xn=1+x(n-1)/[1+x(n-1)]<1+1=2
因为数列递增，且有上限
所以极限存在。

设极限limxn=limx(n-1)=t
带入xn=1+x(n-1)/[1+x(n-1)]后得到
t=1+t/(1+t)=(2t+1)/(t+1)
解得limxn=t=(1+√5)/2

追问

太棒了