Question

高中数学导函数求单调区间的简单问题。

求非常详细的解题过程和思路。 特别是求导的步骤。

Answer 1

求函数f(x)=(1/4)x²-ln(1-x)的单调区间
解：定义域：x>1；
f '(x)=(1/4)(2x)-(1-x)'/(1-x)=(x/2)+1/(1-x)=(x/2)-1/(x-1)=[x(x-1)-2]/[2(x-1)]
=(x²-x-2)/[2(x-1)]=(x-2)(x+1)/[2(x-1)]
当1<x≦2时，f '(x)≦0；故该函数在区间(1，2]内单调减；
当x≧2时f '(x)≧0；故该函数在区间[2，+∞）内单调增。

追问

请问原式中1/4为什么不需要进行求导？

追答

1/4是常量，其导数为0；求导时可从导数符号中提出来，因为：
[(1/4)x²]=(1/4)'x²+(1/4)(x²)'=0×(x²)+(1/4)×(2x)=(1/2)x这和[(1/4)x²]'=(1/4)(x²)'=(1/2)x是一样的！

Answer 2

f'=1/4*(x^2)'-[ln(1-x)]'
=1/4*2x-1/(1-x)*(1-x)'
=x/2+1/(1-x)
=(-x^2+x+2)/2(1-x)
=(x+1)(2-x)/2(1-x)

由于ln定义域的要求，1-x>0，
所以2-x>1-x>0
因此f'的正负性完全取决于(x+1)
当x+1>0时，f'>0
x=-1刚好是极值点。

所以单调增区间是[-1,1)

追问

请问原式中的1/4不用求导吗？

追答

1/4是倍数啊，不带x的不用管。比如(1-x)'=(-x)'=-1
1/4还留着是因为后面有带x的东西，如果光是1/4的话直接就扔了。(1/4)'=0。(1/4*x)'=1/4。
上面这个被推荐的答案是错的。定义域怎么可能x>1。随便拿个x=2代进去就会有ln(-1)。

追问

“1/4还留着是因为后面有带x的东西” 这句话不明白，希望具体说明一下为什么这道题中1/4要留着。

追答

因为这里的1/4是一个倍数，不是一个常数。
常数就是跟x没有关系，这个关系是乘除或者乘方的关系。

比如1-x里面的1，它跟x没有乘除的关系。
但1/4*x，是1/4个x的意思，是倍数，跟x有乘法的关系，所以要带着。
比如，2*x的导数是2，因为是乘法，2是倍数，
2+x的导数是1，因为2没有乘法，是常数。1的出现是因为x前面没有数字，就是默认的1个x。