Question

北京2012高考文科卷的一道数学填空题

已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3), g(x)=2^x -2.若对任意x∈R有f(x)<0 或 g(x)<0 则m的取值范围是______

答案(-4,0)

不会做啊求解啊~

Answer 1

由g(x)=2^x -2易知当x>1时g(x)>0，因此我们要计算的是当x>1时f(x)<0
令f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0，x>1
当m>0时，m(x+m+3)恒大于0，针对x-2m来分析，若m<1/2则x-2m必定大于0，但对于m>1/2，无论其取何值，我们都不能保证x-2m<0，所以，m>0的区域被排除。
当m<0时，m(x-2m)恒小于0，针对x+m+3来分析，因为x+3>1+3=4，因此当m>-4时，x+m+3恒为正，从而f(x)恒为负；而当m<-4时，无法确保x+m+3恒为正值。
所以，m的取值范围是(-4,0)

追问

为什么不能取x≤1 g(x)≤0的时候呢?

追答

因为当x<1时，g(x)恒小于0，肯定满足题目要求的，所以我们不必分析x<1时f(x)的取值情况。

Answer 2

楼上正解