Question

设函数f(x)的定义域为（0，+∞），且对任意的x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y)成立，当x>1时

f(x)>0
(1)判断f(x)的单调性
(2)设f(3)=1，解不等式f(x)>f(x-1)+2

Answer 1

f(x*1)=f(x)=f(x)+f(1) 求得 f(1)=0<f(x)(x>1) 单调增函数

f(x)>f(x-1)+2f(3)=f[3(x-1)]+f(3)=f[9(x-1)] 即 f(x)>f[9(x-1)]
因为f(x)为增函数 则 x>9(x-1) x<9/8 考虑定义域 则 0<x<9/8

Answer 2

1. 令y>x>0 y=x*dx dx>1
f(y)=f(x*dx)=f(x)+f(dx)
f(y)-f(x)=f(dx)>0 (因为dx>1>0)
所以f(x)是增函数
2. f(x-1)+f(2)=f(x-1)+f(3)+f(3)=f(3x-3)+f(3)=f(9x-9)
原式化为f(x)>f(9x-9)
由于是单调增函数，有x>9x-9
x<9/8