Question

曲线积分的计算方法

其中

用极限表示怎么写？
像如下这么写对么？





Answer 1

书上这么弄不太对吧，
这个f(εi,ηi)和Δsi应该写在一块才对。
因为物理上来讲，对于长度微元Δsi，它对应的线密度为f(εi,ηi)，所以f(εi,ηi)*Δsi代表的是曲线微元的质量。

所以f(εi,ηi)*Δsi=∫(ti-1,ti) f(φ(t), ψ(t))√[(φ'(t))^2+(ψ'(t))^2] dt

然后求极限的话就是lim (λ->0) ∫(ti-1,ti) f(φ(t), ψ(t))√[(φ'(t))^2+(ψ'(t))^2] dt
然后叠加∑lim (λ->0) ∫(ti-1,ti) f(φ(t), ψ(t))√[(φ'(t))^2+(ψ'(t))^2] dt
=∫f(x,y)dS

那个Δt是这么来的，

因为εi=φ(t), ηi=ψ(t)
所以dεi=φ'(t)dt, dηi=ψ'(t)dt
对于长度微元来讲，Δs=ds=√[(dεi)^2+(dηi)^2]=√[(φ'(t))^2+(ψ'(t))^2] dt
第i段长度微元Δsi是，t从ti-1到ti
所以Δsi=∫(ti-1,ti) √[(φ'(t))^2+(ψ'(t))^2] dt

这是求Δsi的长度，要求他的质量的话，
f(εi,ηi)*Δsi=∫(ti-1,ti) f(φ(t), ψ(t))√[(φ'(t))^2+(ψ'(t))^2] dt

追问

Δs=ds=√[(dεi)^2+(dηi)^2]，这里为什么不直接用εi=φ(t), ηi=ψ(t)？

追答

不是带进去了吗？？写上中间这步是为了让你明白啊
Δs=ds=√[(dεi)^2+(dηi)^2]=√[(φ'(t))^2+(ψ'(t))^2] dt

满意请采纳，谢谢支持。

追问

我是说εi=φ(t), ηi=ψ(t)为什么要求导?εi=φ(t), ηi=ψ(t)不是已经表示很短的一段距离了么？

追答

虽然很短，他不是在每一段又引入参数t了么，每一小段，又是t从ti-1到ti
求导是因为长度微元εi=φ(t)
所以dεi=φ'(t)dt

Answer 2

不正确，你要知道积分表示的是面积，dt相当于lim（t->0）△t

所以用极限应表示为

追问

那Δt是什么具体意思？根号下我明白了是曲线上两点间的长度（因为距离很近所以看做直线），那么乘以Δt后是什么意思呢？

追答

牛顿莱布尼茨公式你知道怎么推导的吧

不用管被积函数的含义，因为转化为极限不用知道被积函数是代表什么的

积分本身是被积函数与x轴围成的面积，面积用微元的方法把积分区间化为n个间隔极小的区间，用区间左限或右限的函数值乘以区间间隔大小作为微元后的面积，然后把这些微元的面积累加就是积分的值。

所以

，这个是积分，转化为极限求和就是

Δt表示的就是分隔的区间大小，乘以函数值，在ti-1到ti之间累加就是面积，就是原式的积分。

原式不就是被积函数在ti-1到ti之间的面积吗