Question

已知函数f(x)=2+log3 x,定义域为[1/81,81]，求函数g(X)=[f(x)]²－f(x²)的最值

并指出g(x)取得最值时相应自变量x的取值

Answer 1

[f(x)]^2=[2+log3(x)]^2=[log3(x)]^2+4log3(x)+4

f(x^2)=2+log3(x^2)=2log3(x)+2

g(x)=[log(x)]^2+2log3(x)+2

设t=log3(x)

1/81<=x<=81，则-4<=t<=4

t^2+2t+2是开口向上、对称轴为t=-1的二次函数。

当t=-1时，t^2+2t+2取得最小值1

当t=4时，t^2+2t+2取得最大值26

所以

当log3(x)=-1，即x=1/3时，g(x)取得最小值g(1/3)=1

当log3(x)=4，即x=81时，g(x)取得最大值g(81)=26

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