Question

！！！急求详细解答过程！！！用数学归纳法证明:1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)<2-(1/n).当中n∈N*且n>1

急求详细解答过程
用数学归纳法证明:
1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)<2-(1/n)
.当中n∈N*且n>1

Answer 1

（1）当n=2时，左式=1+1/4=5/4，右式=2-1/2=3/2=6/4
∴此时命题成立
（2）假设当n=k(k≥2）时，命题成立即
1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/k^2)<2-(1/k)
当n=k+1时，
1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/k^2)+[1/(k+1)^2]<2-(1/k)+[1/(k+1)^2]
=2-(k+2)/[k(k+2)]+[1/(k+1)^2]<2-(k+2)/(k+1)^2+[1/(k+1)^2]
=2-(k+1)/(k+1)^2=2-1/(k+1)
此时命题成立，由数学归纳法知原命题成立。
求采纳为满意回答。

追问

2-(1/k)+[1/(k+1)^2]
=2-(k+2)/[k(k+2)]+[1/(k+1)^2]

你得解释怎么变得，我就采纳你

Answer 2

借楼上的答案修改一下
1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/k^2)+[1/(k+1)^2]<2-1/(k+1)，把左边最后一项挪到右边

1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/k^2)<2-1/(k+1)-[1/(k+1)^2]=2-(k+2)/(k+1)^2，现在不等式左边和n=k时一样，只需证右边的2-(k+2)/(k+1)^2>2-(1/k)

用(1/k)-(k+2)/(k+1)^2=1/k(k+1)^2>0，即征

追问

不懂...
可以不挪吗？？

追答

不把n+1项移过去，怎么和n=k时的n项靠上？数学归纳法就要想法子用上n=k时的假设

追问

算了，还是用放缩法吧....

追答

的确，放缩方便很多，以后也能用上。

追问

你会吗？？？？

追答

。。。我还以为你会的。
抛开1不提，第二项是1/4<1*(1/2)，第三项是1/9<(1/2)*(1/3)……第n项就是1/n^2<(1/n-1)(1/n)
整体上看就是你题目中的式子<1+[1*(1/2)+(1/2)*(1/3)……+(1/n-1)(1/n)]
大括号里的式子可以化简，(1/n-1)(1/n)=(1/n-1)-(1/n)。把所有的单项都按照这个方法拆开。
原式=1+[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4……+(1/n-2)-(1/n-1)+(1/n-1)-(1/n)]，多余的项都消去
就剩下1+[1-(1/n)]=2-(1/n)

Answer 3

1，当n=2时
a2=1+1/4=5/4
b2=2-1/2=3/2=6/4
所以a2＜b2成立；
2，当n＞2时
an=1+1/2²+1/3²+。。。+1/n²
a（n+1）=1+1/2²+1/3²+。。。+1/（n+1）²
a（n+1）-an=1/（n+1）²
bn=2-1/n
b（n+1）=2-1/（n+1）
b（n+1）-bn=1/n-1/（n+1）=1/[n（n+1）]＞a（n+1）-an=1/（n+1）²
即a（n+1）-an＜b（n+1）-bn
又a2＜b2，所以a3=a2+（a3-a2）＜b2+（a3-a2）＜b2+（b3-b2）=b3，同理可推，an＜bn

追问

...你真是什么方法？？？
要数学归纳法....

追答

额，那就先1，2的话，就假设an＜bn，再证明an+1＜bn+1，反正就这思路，毕业好多年了，忘记啥叫数学归纳法了。

追问

呃......，还没学过这种方法....