Question

单位圆中三角函数线在解决三角问题中的数形结合功能

Answer 1

三角函数线是利用单位圆中特定的有向线段来表示三角函数的一种方法。利用三角函数线我们可以证明一些三角恒等式，证明一些简单的三角不等式，比较三角函数值的大小，也可用来作图，解决一些平面几何问题，并且三角函数线在这些方面的应用，使得问题的解决直观、简捷。

Answer 2

2、利用单位圆研究三角函数的周期性
利用单位圆可以很直观地突出三角函数最重要的性质——周期性。在直角坐标系的单位圆中， 是单位圆的自然的动态描述，当角 增大（减小） 时，P点沿着单位圆运动最终回到原来的位置，这说明角 与角 的正弦、余弦函数值分别不变。由此看出正弦、余弦函数具有周期性。
3、利用单位圆的对称性研究诱导公式
借助单位圆的几何直观效果，可以帮助学生学习和理解正弦、余弦函数的诱导公式。
在直角坐标系的单位圆中，不难看出，角 的终边与角 的终边关于 轴对称，它们和单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即 。其它可同理分析。
4、利用单位圆中的有向线段表示三角函数值（三角函数线）：
三角函数线是三角函数的一种几何表示，在旧教材中，三角函数线通过“终边定义法”，引入单位圆，花了一节课的时间专门学习，内容详细，没有例题设置，需要用练习中的习题在堂上评讲。
而在新课程中，因为三角函数线的作用有限，三角函数线只是作为一种工具一代而过，目的是淡化这一概念，同时突出单位圆的作用。由于应用了“单位圆定义法”，三角函数线就变得很简单，是“数”与“形”的结合而已。三角函数线的始点与终点问题，学生可参照角 的终边与单位圆的交点的横、纵坐标自己推出，不用再专门规定。
5、利用单位圆中的有向线段（三角函数线）作三角函数的图象：
通过平移（旋转）三角函数线的方法可以得到比较精确的三角函数图象。
6、利用单位圆讨论三角函数的性质：
以正弦函数为例：（动态演示）
如图，设角 的终边与单位圆交于点