Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q在斜边上，且∠PCQ=45°.求证PQ²=AP²+BQ²

以防乱码，平方就用文字

Answer 1

证明：将△CQB绕点C顺时针旋转90°，得△CQ'A,连PQ'

显然△CQB≌△CQ'A,

所以AQ'=BQ,CQ=CQ',∠BCQ=∠ACQ'

因为∠ACB=90,∠PCQ=45,

所以∠ACP+∠BCQ=45,

所以∠Q'CA+∠ACP=45,

即∠Q'CP=∠QCP

又CP为公共边

所以△Q'CP≌△QCP

所以PQ'=PQ

因为∠Q'AP=∠Q'AC+∠CAP=45+45=90,

所以在直角三角形AQ'P中，由勾股定理，得，

PQ'^2=AP^2+PQ'^2

即PQ²=AP²+BQ²