Question

高数 多元复合函数的求导法则

如图画波浪线处是如何得出的 ，看不懂

Answer 1

(一)书上的说法是在形式上套多元函数的偏导数公式，目的是让学生容易接受；其实是：
z=f(u，v，w)，u=φ(x，y)，v=x，w=y；故：
∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)+(∂f/∂w)(∂w/∂x)=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+∂f/∂x
∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)+(∂f/∂w)(∂w/y)=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+∂f/∂y
其实没必要这样作，既罗嗦，还让人费脑子。
由z=f[φ(x，y)，x，y]，直接就可写出∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+∂f/∂x；∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+∂f/∂y

(二)你写的两个式子都有错！
∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+∂f/∂y+∂f/∂x，这式子里多写了一个∂f/∂y；z对x的偏导数与z对y的偏导数无关！

第二个式子同样多写了一个∂f/∂x，道理与上同！
(三)z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)，则：
∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)；这是多元函数偏导数的基本定理，u是x和y的函数，v也是x和y的函数；为什么要相加？你最好仔细看看该定理的证明，因为不是几句话能说清楚的。