Question

题10、谢谢

Answer 1

偶函数
x为无理数时，-x也是无理数f(x)=f(-x)=0
x为有理数时，-x也是有理数f(x)=f(-x)=1
所以f(x)=f(-x)
所以f(x)是偶函数

追问

为什么是周期函数？

追答

你要知道：
有理数 + 有理数 = 有理数
无理数 + 有理数 = 无理数
而
无理数 + 无理数 不一定等于 无理数 （比如 3+pi 和 3-pi 两个无理数相加等于 6 为有理数）

所以
由周期定义，对任意 x 都有 f(x+T) = f(x)。狄利克雷函数用 D(x) 表示：
当 T 为任意有理数时，
1. 当 x 为有理数时，x+T 还是有理数，所以有 D(x+T) = D(x) = 1
2. 当 x 为无理数时，x+T 还是无理数，所以有 D(x+T) = D(x) = 0
所以任意有理数是 D(x) 的周期，所以 D(x) 也不存在最小正周期。

而当 T 为任意无理数时：
1. 当 x 为有理数时，x+T 是无理数，所以有 D(x+T) = 0 而 D(x) = 1
2. 当 x 为无理数时，x+T 不确定，所以有 D(x+T) = 0 或 1 而 D(x) = 0
所以任意无理数不是 D(x) 的周期。

给个好评吧！

这个函数 叫狄利克雷函数