Question

已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点

连接DH与BE相交于点G．求证：CE与BG的大小关系如何？并说明理由

Answer 1

证明：
∵∠ABC=45°，CD⊥AB
∴BD=CD
∵∠ACD+∠A=∠DBF+∠A=90°
∴∠ACD=∠DBF
∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF≌△CDA
∴BF=AC

(2)
△BDF≌△CDA
∴AC=BF
∵BD⊥AC，BD平分∠ABC
易得△ABC是等腰三角形
∴CE=1/2AC=1/2BF
（3）
连接CG
∵H是BC中点
∴DH是BC的垂直平分线
∴BG=CG
在△CEG中，CG>CE（斜边大于直角边）
∴BG>CE

Answer 2

连接CG
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴△BDC是等腰三角形
又∵H是BC边的中点
∴DH是BC边的垂直平分线
∴BG=CG
∵BE⊥AC
∵BE平分∠ABC
∴∠GBH=∠GCH=22.5°
∴∠EGC=45°
∴△CEG为直角等腰△
∴BG=CG=√2CE

Answer 3

（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∵∠BDF=∠CDA∠A=∠DFBBD=DC，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF=AC；

（2）证明：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△AEB和△CEB中
∵∠AEB=∠CEBBE=BE∠ABE=∠CBE，
∴△AEB≌△CEB，
∴AE=CE，
即CE=12AC，
∵由（1）知AC=BF，
∴CE=12BF．

Answer 4

连接CG
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴△BDC是等腰三角形
又∵H是BC边的中点
∴DH是BC边的垂直平分线
∴BG=CG
∵BE⊥AC
∵BE平分∠ABC
∴∠GBH=∠GCH=22.5°
∴∠EGC=45°
∴△CEG为直角等腰△
∴BG=CG=2CE

Answer 5

（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵
∠DBF=∠DCABD=CD∠BDF=∠ADC
∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．
∴BF=AC；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∠ABE=∠CBEBE=BE∠BEA=∠BEC
，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE=AE=
1
2
AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE=
1
2
AC=
1
2
BF；
（3）证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，则CD=BD．
H为BC中点，则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）
连接CG，则BG=CG，∠GCB=∠GBC=
1
2
∠ABC=
1
2
×45°=22.5°，∠EGC=45°．
又∵BE垂直AC，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE．
∵△GEC是直角三角形，
∴CE2+GE2=CG2，
∵DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴CE2+GE2=CG2=BG2；即2CE2=BG2，BG=
2
CE，
∴BG＞CE．

Answer 6

2165+