求解一道数学函数题！在线等大神 30
已知函数f(x)=xlnx(x＞0)，g(x)=f'(x),点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为曲线y=g(x)上的三点，且0＜x1＜x2＜x3.(1...
已知函数f(x)=xlnx(x＞0)，g(x)=f'(x),点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为曲线y=g(x)上的三点，且0＜x1＜x2＜x3.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值.
(2)设直线AB的斜率为k,若x0=(x1+x2)/2，试证明k＞g'(x0)
(3)证明：[g(x2)-g(x1)]/(x2-x1)＞[g(x3)-g(x2)]/(x3-x2)
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(1)求函数f(x)的单调区间和极值.
(2)设直线AB的斜率为k,若x0=(x1+x2)/2，试证明k＞g'(x0)
(3)证明：[g(x2)-g(x1)]/(x2-x1)＞[g(x3)-g(x2)]/(x3-x2)
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(1)g(x)=f'(x)=lnx+1,
0<x<1/e时f'(x)<0,f(x)是减函数，其他，f(x)是增函数，
f(x)的极小值=f(1/e)=-1/e.
(2)g'(x1)=1/x,g'(x0)=1/x0=2/(x1+x2),
k=[g(x2)-g(x1)]/(x2-x1)=(lnx2-lnx1)/(x2-x1),
k>g'(x0),0<x1<x2,设u=x2-x1,
<==>ln(1+u/x1)/u>2/(2x1+u)
<==>ln(1+u/x1)>2/(2x1/u+1),①
设h(x)=ln(1+x)-2/(2/x+1)=ln(1+x)-2x/(2+x),x>0,
h'(x)=1/(1+x)-4/(2+x)^2=(x^2+4x)/[(1+x)(2+x)^2]>0,
∴h(x)>h(0)=0,令x=u/x1,即知①成立，
∴k>g'(x0)成立。
(3待续
0<x<1/e时f'(x)<0,f(x)是减函数，其他，f(x)是增函数，
f(x)的极小值=f(1/e)=-1/e.
(2)g'(x1)=1/x,g'(x0)=1/x0=2/(x1+x2),
k=[g(x2)-g(x1)]/(x2-x1)=(lnx2-lnx1)/(x2-x1),
k>g'(x0),0<x1<x2,设u=x2-x1,
<==>ln(1+u/x1)/u>2/(2x1+u)
<==>ln(1+u/x1)>2/(2x1/u+1),①
设h(x)=ln(1+x)-2/(2/x+1)=ln(1+x)-2x/(2+x),x>0,
h'(x)=1/(1+x)-4/(2+x)^2=(x^2+4x)/[(1+x)(2+x)^2]>0,
∴h(x)>h(0)=0,令x=u/x1,即知①成立，
∴k>g'(x0)成立。
(3待续
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2024-10-28 广告
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