Question

设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2^n+1+1,且a1,a2+5.a3成等差数

求数列{an}的通项公式；证明：对一切正整数n,有1/a1+1/a2+...1/an<3/2

Answer 1

解析，
(1)2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1，那么2S(n-1)=an-2^n+1
2an=2Sn-2S(n-1)=a(n+1)-an-2^n，
故，3an=a(n+1)-2^n，也就是，3(an+2^n)=a(n+1)+2^(n+1)
因此，[a(n+1)+2^(n+1)]/(an+2^n)=3，故，（an+2^n）是等比数列。
由于，a1，a2+5，a3，是等差数列，故，2(a2+5)=a1+a3，【1】
当n=2时，2(a1+a2)=a3-8+1，【2】
由【1】和【2】可以解出，a1=1
那么a1+2=3，an+2^n=(a1+2)*3^(n-1)=3^n
因此，an=3^n-2^n
（2）【一直在想，从昨天想到现在，原来那么简单】
证明：设bn=1/an=1/(3^n-2^n)， b(n+1)=1/[3^(n+1)-2^(n+1)]
，b(n+1)/bn=【3^n-2^n】/【3^(n+1)-2^(n+1)】=【1-(2/3)^n】/【3-2*(2/3)^n】
lim(b(n+1)/bn)=1/3，
也就是说，b(n+1)/bn=【3^n-2^n】/【3^(n+1)-2^(n+1)】＜1/3恒成立。
因此，1/a1+2/a2+3/a3+……+1/an
=1/(3-2)+1/(3²-2²)+1/(3³-2³)+……+1/(3^n-2^n)
<1/(3-2)+1/3+(1/3)²+(1/3)³+……+(1/3)^(n-1)
由于，1/(3-2)+1/3+(1/3)²+(1/3)³+……+(1/3)^(n-1)
=1+1/3+(1/3)²+(1/3)³+……+(1/3)^(n-1)
=[1-(1/3)^n]/[1-1/3]
=3/2-3/2*(1/3)^n
<3/2
故，1/a1+2/a2+3/a3+……+1/an<3/2，对于任意的正整数n成立。

Answer 2

2Sn=a（n+1）-2^（n+1）+1令n=1,2联立（a2+5）*2=a1+a3得a1=1
2an=2sn-2sn-1=a（n+1）-an-2^n
即a（n+1)=3an+2^n
所以a（n+1)+2^（n+1）=3*(an+2^n)
an+2^n=(a1+2^1）*3^(n-1)=3^n
an=3^n-2^n
证明只要证1/a1+1/a2+...1/an<（3/2）*（1-（1/2)^n)
又（3/2）*（1-（1/3)^n)是首相为1/3,公比为1/2的等比数列前n项之和
故只要证明1/an<1/3*(1/2)^(n-1)
即证2^n/(3^n-2^n)<2/3
即证1/((3/2)^n-1)<2/3
由于放太紧的缘故（大侠们可自己构造一个松一点的包含n=1和2的，这里暂时想不出来，望谅解），n=1和2不满足上式
但是我们可由an通向公式得a1=1,a2=5,1/a1<3/2符合，1/a1+1/a2=6/5<3/2符合
所以对一切正整数n,有1/a1+1/a2+...1/an<3/2

Answer 3

第二问，因为3^n-2^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)-2^n=2*(3^(n-1)-2^(n-1))>0
所以an=3^n-2^n>3^(n-1),所以1/an<1/3^(n-1)
所以1/a1+1/a2+...1/an<(1/3)^0+(1/3)^1+(1/3)^2+。。。+1/3^(n-1)=1*(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=3/2(1-(1/3)^n)<3/2